Упр.11.5 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Найдите производную функции:

а) $$y=2x\cos(x)$$; б) $$y=-x^2\sin(x)$$; в) $$y=x^3\operatorname{ctg}(x)$$; г) $$y=vx\operatorname{tg}(x)$$; д) $$y=(\operatorname{tg}(x)+1)\sin(x)$$; е) $$y=(\sin(x)-2)\cos(x)$$.

1. а) $$y=2x\cos x$$

   По правилу производной произведения:

   $$y’=(2x)’\cos x+2x(\cos x)’=2\cos x-2x\sin x.$$

   $$y’=2(\cos x-x\sin x).$$

2. б) $$y=-x^2\sin x$$

   $$y’=-(x^2)’\sin x-x^2(\sin x)’=-2x\sin x-x^2\cos x.$$

   $$y’=-x(2\sin x+x\cos x).$$

3. в) $$y=x^3\ctg x$$

   $$y’=(x^3)’\ctg x+x^3(\ctg x)’=3x^2\ctg x-\frac{x^3}{\sin^2 x}.$$

   $$y’=x^2\left(3\ctg x-\frac{x}{\sin^2 x}\right).$$

4. г) $$y=\sqrt{x}\tg x$$

   $$y’=(\sqrt{x})’\tg x+\sqrt{x}(\tg x)’=\frac{\tg x}{2\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{x}}{\cos^2 x}.$$

5. д) $$y=(\tg x+1)\sin x$$

   $$y’=(\tg x+1)’\sin x+(\tg x+1)(\sin x)’$$

   $$y’=\frac{\sin x}{\cos^2 x}+(\tg x+1)\cos x.$$

   Так как $$\tg x\cos x=\sin x,$$ получаем:

   $$y’=\frac{\tg x}{\cos x}+\sin x+\cos x.$$

6. е) $$y=(\sin x-2)\cos x$$

   $$y’=(\sin x-2)’\cos x+(\sin x-2)(\cos x)’$$

   $$y’=\cos^2 x-(\sin x-2)\sin x.$$

   Упростим:

   $$y’=\cos^2 x-\sin^2 x+2\sin x=\cos 2x+2\sin x.$$

Ответ

а) $$y’=2(\cos x-x\sin x);$$ б) $$y’=-x(2\sin x+x\cos x);$$ в) $$y’=x^2\left(3\ctg x-\frac{x}{\sin^2 x}\right);$$ г) $$y’=\frac{\tg x}{2\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{x}}{\cos^2 x};$$ д) $$y’=\frac{\tg x}{\cos x}+\sin x+\cos x;$$ е) $$y’=\cos 2x+2\sin x.$$