Упр.11.11 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
- Найдите тангенс угла между осью $$Ox$$ и касательной, проведённой к графику функции $$y=f(x)$$ в точке $$x=a$$: а) $$f(x)=\frac{x^2}{?}\sin(x)$$, $$a=\frac{?}{2}$$; б) $$f(x)=\sqrt{3}\cos(x)+\frac{x^2}{?}$$, $$a=\frac{?}{3}$$; в) $$f(x)=4\operatorname{ctg}(x)+3x$$, $$a=\frac{11?}{6}$$; г) $$f(x)=x\cos(x)$$, $$a=3?$$; д) $$f(x)=\sqrt{2}\sin(x)-\frac{x^3}{?^2}$$, $$a=\frac{?}{4}$$; е) $$f(x)=-3\operatorname{tg}(x)+2x$$, $$a=\frac{7?}{6}$$.
Тангенс угла между осью $$Ox$$ и касательной к графику функции в точке $$x=a$$ равен значению производной в этой точке: $$\tan \alpha = f'(a).$$
а) $$f(x)=\frac{x^2}{\pi}\sin x,\quad a=\frac{\pi}{2}.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=\frac{2x}{\pi}\sin x+\frac{x^2}{\pi}\cos x.$$
Подставим $$x=\frac{\pi}{2}$$:
$$f’\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{2\cdot \frac{\pi}{2}}{\pi}\cdot 1+\frac{\left(\frac{\pi}{2}\right)^2}{\pi}\cdot 0=1.$$
б) $$f(x)=\sqrt{3}\cos x+\frac{x^2}{\pi},\quad a=\frac{\pi}{3}.$$
$$f'(x)=-\sqrt{3}\sin x+\frac{2x}{\pi}.$$
$$f’\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=-\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{2\cdot \frac{\pi}{3}}{\pi}=-\frac{3}{2}+\frac{2}{3}=-\frac{5}{6}.$$
в) $$f(x)=4\ctg x+3x,\quad a=\frac{11\pi}{6}.$$
$$f'(x)=-\frac{4}{\sin^2 x}+3.$$
$$f’\!\left(\frac{11\pi}{6}\right)=-\frac{4}{\left(-\frac{1}{2}\right)^2}+3=-16+3=-13.$$
г) $$f(x)=x\cos x,\quad a=3\pi.$$
$$f'(x)=\cos x-x\sin x.$$
$$f'(3\pi)=\cos 3\pi-3\pi\sin 3\pi=-1-0=-1.$$
д) $$f(x)=\sqrt{2}\sin x-\frac{x^3}{\pi^2},\quad a=\frac{\pi}{4}.$$
$$f'(x)=\sqrt{2}\cos x-\frac{3x^2}{\pi^2}.$$
$$f’\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{3\left(\frac{\pi}{4}\right)^2}{\pi^2}=1-\frac{3}{16}=\frac{13}{16}.$$
е) $$f(x)=-3\tg x+2x,\quad a=\frac{7\pi}{6}.$$
$$f'(x)=-\frac{3}{\cos^2 x}+2.$$
$$f’\!\left(\frac{7\pi}{6}\right)=-\frac{3}{\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2}+2=-\frac{3}{\frac{3}{4}}+2=-4+2=-2.$$
Ответ
а) $$1$$; б) $$-\frac{5}{6}$$; в) $$-13$$; г) $$-1$$; д) $$\frac{13}{16}$$; е) $$-2$$.
