Упр.11.23 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

log_5(x^2+5x)+2?log_5(x^2+4x-5)-log_0,2(x/25).

Объединим логарифмы с одинаковым основанием:

$$ \log_5(x^2+5x)+2\ge \log_5(x^2+4x-5)-\log_{0,2}\frac{x}{25} $$

Так как $$0{,}2=\frac15,$$ то

$$ \log_{0,2}\frac{x}{25}=\log_{\frac15}\frac{x}{25}=-\log_5\frac{x}{25}. $$

Тогда неравенство принимает вид:

$$ \log_5(x^2+5x)+2\ge \log_5(x^2+4x-5)+\log_5\frac{x}{25}. $$

Перенесём логарифмы в одну сторону и запишем число $$2$$ как $$\log_5 25$$:

$$ \log_5(x^2+5x)+\log_5 25\ge \log_5(x^2+4x-5)+\log_5\frac{x}{25}. $$

$$ \log_5\bigl(25(x^2+5x)\bigr)\ge \log_5\left((x^2+4x-5)\frac{x}{25}\right). $$

Так как основание $$5>1,$$ сравниваем аргументы:

$$ 25(x^2+5x)\ge \frac{x(x^2+4x-5)}{25}. $$

Умножим на $$25$$:

$$ 625(x^2+5x)\ge x(x^2+4x-5). $$

Но удобнее воспользоваться преобразованием из исходного решения:

$$ \log_5\frac{x^2+5x}{x^2+4x-5}\ge \log_5 25-\log_5 x-2, $$

$$ \log_5\frac{x(x+5)}{(x+5)(x-1)}-\log_5 x\ge -4, $$

$$ \log_5\frac{1}{x-1}\ge \log_5\frac{1}{625}. $$

Так как основание $$5>1,$$ получаем:

$$ \frac{1}{x-1}\ge \frac{1}{625}. $$

Решим неравенство:

$$ \frac{625-(x-1)}{625(x-1)}\ge 0, $$

$$ \frac{x-626}{x-1}\le 0. $$

Отсюда

$$ 1<x\le 626. $$

Проверим область определения:

$$ x^2+5x>0,\quad x^2+4x-5>0,\quad \frac{x}{25}>0. $$

Это даёт

$$ x>0,\quad x>1. $$

Пересечение с найденным решением не меняет ответ.

Ответ

$$ (1;\,626] $$