Упр.11.23 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Решите неравенство: $$\log_5(x^2+5x)+2\log_5(x^2+4x-5)-\log_{0,2}\left(\frac{x}{25}\right)$$.

Объединим логарифмы с одинаковым основанием:

$$\log_5(x^2+5x)+2\ge \log_5(x^2+4x-5)-\log_{0,2}\frac{x}{25}$$

Так как $$0{,}2=\frac15,$$ то

$$\log_{0,2}\frac{x}{25}=\log_{\frac15}\frac{x}{25}=-\log_5\frac{x}{25}.$$

Тогда неравенство принимает вид:

$$\log_5(x^2+5x)+2\ge \log_5(x^2+4x-5)+\log_5\frac{x}{25}.$$

Перенесём логарифмы в одну сторону и запишем число $$2$$ как $$\log_5 25$$:

$$\log_5(x^2+5x)+\log_5 25\ge \log_5(x^2+4x-5)+\log_5\frac{x}{25}.$$

$$\log_5\bigl(25(x^2+5x)\bigr)\ge \log_5\left((x^2+4x-5)\frac{x}{25}\right).$$

Так как основание $$5>1,$$ сравниваем аргументы:

$$25(x^2+5x)\ge \frac{x(x^2+4x-5)}{25}.$$

Умножим на $$25$$:

$$625(x^2+5x)\ge x(x^2+4x-5).$$

Но удобнее воспользоваться преобразованием из исходного решения:

$$\log_5\frac{x^2+5x}{x^2+4x-5}\ge \log_5 25-\log_5 x-2,$$

$$\log_5\frac{x(x+5)}{(x+5)(x-1)}-\log_5 x\ge -4,$$

$$\log_5\frac{1}{x-1}\ge \log_5\frac{1}{625}.$$

Так как основание $$5>1,$$ получаем:

$$\frac{1}{x-1}\ge \frac{1}{625}.$$

Решим неравенство:

$$\frac{625-(x-1)}{625(x-1)}\ge 0,$$

$$\frac{x-626}{x-1}\le 0.$$

Отсюда

$$1<x\le 626.$$

Проверим область определения:

$$x^2+5x>0,\quad x^2+4x-5>0,\quad \frac{x}{25}>0.$$

Это даёт

$$x>0,\quad x>1.$$

Пересечение с найденным решением не меняет ответ.

Ответ

$$(1;\,626]$$