Упр.11.22 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

а) log_2 v(3x + 13) + log_4 (5x — 1) = log_3^(1/3) 3;
б) ln^2(x) + ln(ex) = ln(e^3).

Подробный ответ

а) Область определения:

$$ 3x+13>0,\qquad 5x-1>0 $$
$$ x>-\frac{13}{3},\qquad x>\frac15 $$
Следовательно, $$x>\frac15.$$

Преобразуем уравнение:

$$ \log_2\sqrt{3x+13}+\log_4(5x-1)=\log_{\sqrt[3]{3}}3 $$
$$ \log_2(3x+13)^{\frac12}+\log_2^2(5x-1)=3 $$
$$ \frac12\log_2(3x+13)+\frac12\log_2(5x-1)=3 $$
$$ \log_2\bigl((3x+13)(5x-1)\bigr)=6 $$
$$ (3x+13)(5x-1)=64 $$
$$ 15x^2+62x-13=64 $$
$$ 15x^2+62x-77=0 $$
$$ D=62^2-4\cdot 15\cdot(-77)=3844+4620=8464 $$
$$ \sqrt D=92 $$
$$ x=\frac{-62\pm 92}{30} $$
$$ x_1=-\frac{77}{15},\qquad x_2=1 $$
С учётом области определения подходит только $$x=1.$$

б)

$$ \ln^2 x+\ln(ex)=\ln(e^3) $$
$$ \ln^2 x+\ln e+\ln x=3\ln e $$
$$ \ln^2 x+\ln x-2=0 $$
Положим $$y=\ln x.$$ Тогда

$$ y^2+y-2=0 $$
$$ (y+2)(y-1)=0 $$
$$ y=-2 \quad \text{или} \quad y=1 $$
Возвращаясь к переменной $$x$$, получаем:

$$ \ln x=-2 \Rightarrow x=e^{-2}=\frac1{e^2} $$
$$ \ln x=1 \Rightarrow x=e $$
Оба значения подходят.