Упр.11.22 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

Решите уравнение:

а) $$\log_2\sqrt{3x+13}+\log_4(5x-1)=\log_{\sqrt[3]{3}}3$$;

б) $$\ln^2(x)+\ln(ex)=\ln(e^3)$$.

Подробный ответ

а) Область определения:

$$3x+13>0,\qquad 5x-1>0$$
$$x>-\frac{13}{3},\qquad x>\frac15$$
Следовательно, $$x>\frac15.$$

Преобразуем уравнение:

$$\log_2\sqrt{3x+13}+\log_4(5x-1)=\log_{\sqrt[3]{3}}3$$
$$\log_2(3x+13)^{\frac12}+\log_2^2(5x-1)=3$$
$$\frac12\log_2(3x+13)+\frac12\log_2(5x-1)=3$$
$$\log_2\bigl((3x+13)(5x-1)\bigr)=6$$
$$(3x+13)(5x-1)=64$$
$$15x^2+62x-13=64$$
$$15x^2+62x-77=0$$
$$D=62^2-4\cdot 15\cdot(-77)=3844+4620=8464$$
$$\sqrt D=92$$
$$x=\frac{-62\pm 92}{30}$$
$$x_1=-\frac{77}{15},\qquad x_2=1$$
С учётом области определения подходит только $$x=1.$$

б)

$$\ln^2 x+\ln(ex)=\ln(e^3)$$
$$\ln^2 x+\ln e+\ln x=3\ln e$$
$$\ln^2 x+\ln x-2=0$$
Положим $$y=\ln x.$$ Тогда

$$y^2+y-2=0$$
$$(y+2)(y-1)=0$$
$$y=-2 \quad \text{или} \quad y=1$$
Возвращаясь к переменной $$x$$, получаем:

$$\ln x=-2 \Rightarrow x=e^{-2}=\frac1{e^2}$$
$$\ln x=1 \Rightarrow x=e$$
Оба значения подходят.