Упр.11.21 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. Вычислите:
   а) $$\log_3 81\cdot\left(\log_6 4+\log_6 9\right);$$
   г) $$\log_2 16\cdot\left(\lg 5+\lg 20\right);$$
   б) $$\log_{\frac{1}{5}}125\cdot\left(\lg 300-\lg 3\right);$$
   д) $$\log_{\frac{1}{3}}\frac{1}{81}\left(\log_{12}432-\log_{12}3\right);$$
   в) $$\frac{\log_{\frac{2}{7}}8-\log_{\frac{2}{7}}343}{\log_{2\sqrt{3}}12};$$
   е) $$\frac{\log_{\sqrt{2}}5\sqrt{2}-\log_{\sqrt{2}}10}{\log_{3\sqrt{5}}45}.$$

Используем свойства логарифмов:

• $$\log_a x+\log_a y=\log_a(xy)$$
• $$\log_a x-\log_a y=\log_a\frac{x}{y}$$
• $$\log_a a^n=n$$

1. $$\log_3 81\cdot(\log_6 4+\log_6 9)=\log_3 3^4\cdot\log_6(4\cdot 9)=4\cdot\log_6 36=4\cdot 2=8.$$
2. $$\log_{\frac15}125\cdot(\lg 300-\lg 3)=\log_{5^{-1}}5^3\cdot\lg\frac{300}{3}=-3\cdot\lg 100=-3\cdot 2=-6.$$
3. $$\frac{\log_{\frac27}8-\log_{\frac27}343}{\log_{2\sqrt3}12} =\frac{\log_{\frac27}\frac{8}{343}}{\log_{2\sqrt3}(4\cdot 3)} =\frac{\log_{\frac27}\left(\frac27\right)^3}{\log_{2\sqrt3}(2\sqrt3)^2} =\frac{3}{2}.$$
4. $$\log_2 16\cdot(\lg 5+\lg 20)=\log_2 2^4\cdot\lg(5\cdot 20)=4\cdot\lg 100=4\cdot 2=8.$$
5. $$\log_{\frac13}\frac{1}{81}\cdot(\log_{12}432-\log_{12}3) =\log_{3^{-1}}3^{-4}\cdot\log_{12}\frac{432}{3} =4\cdot\log_{12}144 =4\cdot 2=8.$$
6. $$\frac{\log_{\sqrt2}(5\sqrt2)-\log_{\sqrt2}10}{\log_{3\sqrt5}45} =\frac{\log_{\sqrt2}\frac{5\sqrt2}{10}}{\log_{3\sqrt5}(9\cdot 5)} =\frac{\log_{\sqrt2}\frac{1}{\sqrt2}}{\log_{3\sqrt5}(3\sqrt5)^2} =\frac{-1}{2}.$$

Ответ

а) $$8$$; б) $$-6$$; в) $$\frac{3}{2}$$; г) $$8$$; д) $$8$$; е) $$-\frac{1}{2}$$.