Упр.11.11 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) f(x)=(x^2/?)sin(x), a=?/2;
б) f(x)=v3cos(x)+x^2/?, a=?/3;
в) f(x)=4ctg(x)+3x, a=11?/6;
г) f(x)=xcos(x), a=3?;
д) f(x)=v2sin(x)-x^3/?^2, a=?/4;
е) f(x)=-3tg(x)+2x, a=7?/6.

1. Тангенс угла между осью $$Ox$$ и касательной к графику функции в точке $$x=a$$ равен значению производной в этой точке: $$\tan \alpha = f'(a).$$

2. а) $$f(x)=\frac{x^2}{\pi}\sin x,\quad a=\frac{\pi}{2}.$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=\frac{2x}{\pi}\sin x+\frac{x^2}{\pi}\cos x.$$

   Подставим $$x=\frac{\pi}{2}$$:

   $$f’\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{2\cdot \frac{\pi}{2}}{\pi}\cdot 1+\frac{\left(\frac{\pi}{2}\right)^2}{\pi}\cdot 0=1.$$

3. б) $$f(x)=\sqrt{3}\cos x+\frac{x^2}{\pi},\quad a=\frac{\pi}{3}.$$

   $$f'(x)=-\sqrt{3}\sin x+\frac{2x}{\pi}.$$

   $$f’\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=-\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{2\cdot \frac{\pi}{3}}{\pi}=-\frac{3}{2}+\frac{2}{3}=-\frac{5}{6}.$$

4. в) $$f(x)=4\ctg x+3x,\quad a=\frac{11\pi}{6}.$$

   $$f'(x)=-\frac{4}{\sin^2 x}+3.$$

   $$f’\!\left(\frac{11\pi}{6}\right)=-\frac{4}{\left(-\frac{1}{2}\right)^2}+3=-16+3=-13.$$

5. г) $$f(x)=x\cos x,\quad a=3\pi.$$

   $$f'(x)=\cos x-x\sin x.$$

   $$f'(3\pi)=\cos 3\pi-3\pi\sin 3\pi=-1-0=-1.$$

6. д) $$f(x)=\sqrt{2}\sin x-\frac{x^3}{\pi^2},\quad a=\frac{\pi}{4}.$$

   $$f'(x)=\sqrt{2}\cos x-\frac{3x^2}{\pi^2}.$$

   $$f’\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{3\left(\frac{\pi}{4}\right)^2}{\pi^2}=1-\frac{3}{16}=\frac{13}{16}.$$

7. е) $$f(x)=-3\tg x+2x,\quad a=\frac{7\pi}{6}.$$

   $$f'(x)=-\frac{3}{\cos^2 x}+2.$$

   $$f’\!\left(\frac{7\pi}{6}\right)=-\frac{3}{\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2}+2=-\frac{3}{\frac{3}{4}}+2=-4+2=-2.$$

Ответ

а) $$1$$; б) $$-\frac{5}{6}$$; в) $$-13$$; г) $$-1$$; д) $$\frac{13}{16}$$; е) $$-2$$.