Дополнительная задача 11 Глава 2 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
- Для функции $$y=y(x)=(f(x))^{-1}$$ обоснуйте, что:
а) $$y(x)=\frac{1}{f(x)}$$;
б) $$y(x+\Delta x)=\frac{1}{f(x+\Delta x)}$$;
в) $$\lim_{\Delta x\to 0}y(x+\Delta x)=y(x)$$;
г) $$\Delta y=-\frac{\Delta f}{f(x)f(x+\Delta x)}$$;
д) $$\frac{\Delta y}{\Delta x}=-\frac{\Delta f}{\Delta x}\cdot\frac{1}{f(x)\cdot f(x+\Delta x)}$$;
е) $$\left(\frac{1}{f(x)}\right)’=-\frac{f'(x)}{f^2(x)}$$.
Пусть $$y=(f(x))^{-1}.$$ Тогда по определению обратной степени
$$y(x)=\frac{1}{f(x)}.$$
Аналогично
$$y(x+\Delta x)=\frac{1}{f(x+\Delta x)}.$$
Найдём приращение функции:
$$\Delta y=y(x+\Delta x)-y(x)=\frac{1}{f(x+\Delta x)}-\frac{1}{f(x)}.$$
Приведём к общему знаменателю:
$$\Delta y=\frac{f(x)-f(x+\Delta x)}{f(x)\,f(x+\Delta x)} =-\frac{\Delta f}{f(x)\,f(x+\Delta x)}.$$
Тогда
$$\frac{\Delta y}{\Delta x} =-\frac{\Delta f}{\Delta x}\cdot \frac{1}{f(x)\,f(x+\Delta x)}.$$
Переходя к пределу при $$\Delta x\to 0,$$ получаем
$$y'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x} =-\lim_{\Delta x\to 0}\left(\frac{\Delta f}{\Delta x}\cdot \frac{1}{f(x)\,f(x+\Delta x)}\right).$$
Так как $$\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta f}{\Delta x}=f'(x)$$ и $$\lim_{\Delta x\to 0}f(x+\Delta x)=f(x),$$ то
$$\left(\frac{1}{f(x)}\right)’=y'(x)=-\frac{f'(x)}{f(x)\cdot f(x)}=-\frac{f'(x)}{f^2(x)}.$$
Ответ
$$\left(\frac{1}{f(x)}\right)’=-\frac{f'(x)}{f^2(x)}.$$
