Упр.11.19 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
а) y=3^|x|; в) y=2^(|x|-2);
б) y=0,5^|x+1|; г) y=(1/3)^|x|-1. Решите уравнение:
а) 2^(x^2+2x-5)-2^(8-2x-x^2)=7;
б) 8+3^(2-x-x^2)=3^(x^2+x).
а) $$y=3^{|x|}$$
График функции $$y=3^x$$ отражаем относительно оси $$Oy$$. Получаем функцию, симметричную относительно оси $$Oy$$, с вершиной в точке $$\left(0;1\right)$$.
Область определения: $$D(y)=\mathbb{R}$$.
Множество значений: $$E(y)=[1;+\infty)$$.
б) $$y=0{,}5^{|x+1|}$$
Построим график функции $$y=0{,}5^x$$, затем отразим его относительно оси $$Oy$$ и сдвинем на 1 единицу влево. График симметричен относительно прямой $$x=-1$$.
Область определения: $$D(y)=\mathbb{R}$$.
Множество значений: $$E(y)=(0;1]$$.
в) $$y=2^{|x|-2}$$
Построим график функции $$y=2^x$$, затем сдвинем его на 2 единицы вправо и отразим относительно оси $$Oy$$. Получаем график, симметричный относительно оси $$Oy$$, с наименьшим значением в точке $$\left(0;\frac14\right)$$.
Область определения: $$D(y)=\mathbb{R}$$.
Множество значений: $$E(y)=\left[\frac14;+\infty\right)$$.
г) $$y=\left(\frac13\right)^{|x|}-1$$
Построим график функции $$y=\left(\frac13\right)^x$$, затем отразим его относительно оси $$Oy$$ и сдвинем на 1 единицу вниз. График симметричен относительно оси $$Oy$$, а точка пересечения с осью $$Oy$$ имеет координаты $$\left(0;0\right)$$.
Область определения: $$D(y)=\mathbb{R}$$.
Множество значений: $$E(y)=(-1;0]$$.
а) $$2^{x^2+2x-5}-2^{8-2x-x^2}=7$$
Пусть $$t=x^2+2x-5$$. Тогда
$$2^t-2^{3-t}=7$$
Обозначим $$u=2^t$$. Тогда $$2^{3-t}=\dfrac{8}{u}$$, и получаем
$$u-\frac{8}{u}=7$$
$$u^2-7u-8=0$$
$$(u-8)(u+1)=0$$
Так как $$u=2^t>0$$, то $$u=8$$. Значит,
$$2^t=8=2^3 \Rightarrow t=3$$
$$x^2+2x-5=3$$
$$x^2+2x-8=0$$
$$(x+4)(x-2)=0$$
$$x=-4 \text{ или } x=2$$
б) $$8+3^{2-x-x^2}=3^{x^2+x}$$
Пусть $$t=x^2+x$$. Тогда
$$8+3^{2-t}=3^t$$
Обозначим $$u=3^t$$. Тогда $$3^{2-t}=\dfrac{9}{u}$$, и получаем
$$8+\frac{9}{u}=u$$
$$u^2-8u-9=0$$
$$(u-9)(u+1)=0$$
Так как $$u=3^t>0$$, то $$u=9$$. Значит,
$$3^t=9=3^2 \Rightarrow t=2$$
$$x^2+x=2$$
$$x^2+x-2=0$$
$$(x+2)(x-1)=0$$
$$x=-2 \text{ или } x=1$$
Ответ
а) $$y=3^{|x|}$$ — график, симметричный относительно оси $$Oy$$;
б) $$y=0{,}5^{|x+1|}$$ — график, симметричный относительно прямой $$x=-1$$;
в) $$y=2^{|x|-2}$$ — график, симметричный относительно оси $$Oy$$;
г) $$y=\left(\frac13\right)^{|x|}-1$$ — график, симметричный относительно оси $$Oy$$;
а) $$x=-4,\ 2$$;
б) $$x=-2,\ 1$$.
