Упр.11.19 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. Задание учебника 2025 года. Постройте график функции: а) $$y=3^{|x|}$$; б) $$y=0{,}5^{|x+1|}$$; в) $$y=2^{|x|-2}$$; г) $$y=\left(\frac{1}{3}\right)^{|x|-1}$$.
2. Задание учебника 2022 года. Решите уравнение: а) $$2^{x^2+2x-5}-2^{8-2x-x^2}=7$$; б) $$8+3^{2-x-x^2}=3^{x^2+x}$$.

1. а) $$y=3^{|x|}$$

   График функции $$y=3^x$$ отражаем относительно оси $$Oy$$. Получаем функцию, симметричную относительно оси $$Oy$$, с вершиной в точке $$\left(0;1\right)$$.

   Область определения: $$D(y)=\mathbb{R}$$.

   Множество значений: $$E(y)=[1;+\infty)$$.

2. б) $$y=0{,}5^{|x+1|}$$

   Построим график функции $$y=0{,}5^x$$, затем отразим его относительно оси $$Oy$$ и сдвинем на 1 единицу влево. График симметричен относительно прямой $$x=-1$$.

   Область определения: $$D(y)=\mathbb{R}$$.

   Множество значений: $$E(y)=(0;1]$$.

3. в) $$y=2^{|x|-2}$$

   Построим график функции $$y=2^x$$, затем сдвинем его на 2 единицы вправо и отразим относительно оси $$Oy$$. Получаем график, симметричный относительно оси $$Oy$$, с наименьшим значением в точке $$\left(0;\frac14\right)$$.

   Область определения: $$D(y)=\mathbb{R}$$.

   Множество значений: $$E(y)=\left[\frac14;+\infty\right)$$.

4. г) $$y=\left(\frac13\right)^{|x|}-1$$

   Построим график функции $$y=\left(\frac13\right)^x$$, затем отразим его относительно оси $$Oy$$ и сдвинем на 1 единицу вниз. График симметричен относительно оси $$Oy$$, а точка пересечения с осью $$Oy$$ имеет координаты $$\left(0;0\right)$$.

   Область определения: $$D(y)=\mathbb{R}$$.

   Множество значений: $$E(y)=(-1;0]$$.

5. а) $$2^{x^2+2x-5}-2^{8-2x-x^2}=7$$

   Пусть $$t=x^2+2x-5$$. Тогда

   $$2^t-2^{3-t}=7$$

   Обозначим $$u=2^t$$. Тогда $$2^{3-t}=\dfrac{8}{u}$$, и получаем

   $$u-\frac{8}{u}=7$$

   $$u^2-7u-8=0$$

   $$(u-8)(u+1)=0$$

   Так как $$u=2^t>0$$, то $$u=8$$. Значит,

   $$2^t=8=2^3 \Rightarrow t=3$$

   $$x^2+2x-5=3$$

   $$x^2+2x-8=0$$

   $$(x+4)(x-2)=0$$

   $$x=-4 \text{ или } x=2$$

6. б) $$8+3^{2-x-x^2}=3^{x^2+x}$$

   Пусть $$t=x^2+x$$. Тогда

   $$8+3^{2-t}=3^t$$

   Обозначим $$u=3^t$$. Тогда $$3^{2-t}=\dfrac{9}{u}$$, и получаем

   $$8+\frac{9}{u}=u$$

   $$u^2-8u-9=0$$

   $$(u-9)(u+1)=0$$

   Так как $$u=3^t>0$$, то $$u=9$$. Значит,

   $$3^t=9=3^2 \Rightarrow t=2$$

   $$x^2+x=2$$

   $$x^2+x-2=0$$

   $$(x+2)(x-1)=0$$

   $$x=-2 \text{ или } x=1$$

Ответ

а) $$y=3^{|x|}$$ — график, симметричный относительно оси $$Oy$$;
б) $$y=0{,}5^{|x+1|}$$ — график, симметричный относительно прямой $$x=-1$$;
в) $$y=2^{|x|-2}$$ — график, симметричный относительно оси $$Oy$$;
г) $$y=\left(\frac13\right)^{|x|}-1$$ — график, симметричный относительно оси $$Oy$$;
а) $$x=-4,\ 2$$;
б) $$x=-2,\ 1$$.