Упр.11.18 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

б) Составьте уравнение той касательной к графику функции y = cos(x), x ? [2; 5], которая параллельна прямой y = v2/2 x — 4. Постройте график функции:
а) y=3^|x|; в) y=2^(|x|-2);
б) y=0,5^|x+1|; г) y=(1/3)^|x|-1.

1. а) Для касательной к графику $$y=\sin x$$ угловой коэффициент равен производной:

   $$y’=\cos x.$$

   Прямая $$y=-\frac{x}{2}+1$$ имеет наклон $$k=-\frac12$$, значит, нужно решить уравнение

   $$\cos x=-\frac12.$$

   На отрезке $$[0;4]$$ подходит

   $$x=\frac{2\pi}{3}.$$

   Тогда

   $$y\left(\frac{2\pi}{3}\right)=\sin\frac{2\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}.$$

   Уравнение касательной:

   $$y-\frac{\sqrt3}{2}=-\frac12\left(x-\frac{2\pi}{3}\right).$$

   После преобразования получаем

   $$y=-\frac12x+\frac{\pi}{3}+\frac{\sqrt3}{2}.$$

2. б) Для графика $$y=\cos x$$ имеем

   $$y’=-\sin x.$$

   Прямая $$y=\frac{\sqrt2}{2}x-4$$ имеет наклон $$k=\frac{\sqrt2}{2}$$, значит,

   $$-\sin x=\frac{\sqrt2}{2}, \quad \sin x=-\frac{\sqrt2}{2}.$$

   На отрезке $$[2;5]$$ подходит

   $$x=\frac{5\pi}{4}.$$

   Тогда

   $$y\left(\frac{5\pi}{4}\right)=\cos\frac{5\pi}{4}=-\frac{\sqrt2}{2}.$$

   Уравнение касательной:

   $$y+\frac{\sqrt2}{2}=\frac{\sqrt2}{2}\left(x-\frac{5\pi}{4}\right).$$

   После преобразования:

   $$y=\frac{\sqrt2}{2}x-\frac{5\pi\sqrt2}{8}-\frac{\sqrt2}{2}.$$

3. Построение графиков.

   а) $$y=3^{|x|}$$

   Это график функции $$y=3^x$$, отражённый относительно оси $$Oy$$. Функция чётная, проходит через точку $$\left(0;1\right)$$.

   б) $$y=0{,}5^{|x+1|}$$

   Строим график $$y=0{,}5^x$$, отражаем его относительно оси $$Oy$$ и сдвигаем на 1 единицу влево. Вершина графика: $$\left(-1;1\right)$$.

   в) $$y=2^{|x|-2}$$

   Строим график $$y=2^x$$, сдвигаем его на 2 единицы вправо и отражаем относительно оси $$Oy$$. График чётный, минимальное значение достигается при $$x=0$$:

   $$y(0)=2^{-2}=\frac14.$$

   г) $$y=\left(\frac13\right)^{|x|}-1$$

   Строим график $$y=\left(\frac13\right)^x$$, отражаем относительно оси $$Oy$$ и сдвигаем на 1 единицу вниз. График чётный, проходит через точку $$\left(0;0\right)$$.

Ответ

а) $$y=-\frac12x+\frac{\pi}{3}+\frac{\sqrt3}{2}$$;
б) $$y=\frac{\sqrt2}{2}x-\frac{5\pi\sqrt2}{8}-\frac{\sqrt2}{2}$$.
Графики: $$y=3^{|x|}$$, $$y=0{,}5^{|x+1|}$$, $$y=2^{|x|-2}$$, $$y=\left(\frac13\right)^{|x|}-1$$.