Упр.11.17 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. а) Докажите, что $$\left(\operatorname{tg}(x)-\operatorname{ctg}(x)\right)’=\frac{4}{\sin^2(2x)}$$.
   б) Докажите, что $$\left(\operatorname{tg}(x)+\frac{1}{\cos(x)}\right)’=\frac{1}{1+\sin(x)}$$.

а) Найдём производную:

$$(\tg x-\ctg x)’=(\tg x)’- (\ctg x)’=\frac{1}{\cos^2 x}+\frac{1}{\sin^2 x}.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{1}{\cos^2 x}+\frac{1}{\sin^2 x} =\frac{\sin^2 x+\cos^2 x}{\sin^2 x\cos^2 x} =\frac{1}{\sin^2 x\cos^2 x}.$$

Так как

$$\sin 2x=2\sin x\cos x,$$

то

$$\sin^2 2x=4\sin^2 x\cos^2 x,$$

следовательно,

$$\frac{1}{\sin^2 x\cos^2 x}=\frac{4}{\sin^2 2x}.$$

Значит,

$$(\tg x-\ctg x)’=\frac{4}{\sin^2 2x}.$$

б) Найдём производную:

$$\left(\tg x+\frac{1}{\cos x}\right)’=(\tg x)’+\left(\frac{1}{\cos x}\right)’ =\frac{1}{\cos^2 x}+\frac{\sin x}{\cos^2 x}.$$

Вынесем общий множитель:

$$\frac{1}{\cos^2 x}+\frac{\sin x}{\cos^2 x} =\frac{1+\sin x}{\cos^2 x}.$$

Так как

$$\cos^2 x=1-\sin^2 x=(1-\sin x)(1+\sin x),$$

то

$$\frac{1+\sin x}{\cos^2 x} =\frac{1+\sin x}{(1-\sin x)(1+\sin x)} =\frac{1}{1-\sin x}.$$

Следовательно,

$$\left(\tg x+\frac{1}{\cos x}\right)’=\frac{1}{1-\sin x}.$$

Полученное равенство не совпадает с записанным в условии справа, значит, в условии, вероятно, допущена опечатка.

Ответ

а) $$\left(\tg x-\ctg x\right)’=\frac{4}{\sin^2 2x}$$;
б) $$\left(\tg x+\frac{1}{\cos x}\right)’=\frac{1}{1-\sin x}$$.