Упр.11.16 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. а) Докажите, что функция $$y=4\cos(x)-3\sin(x)$$ удовлетворяет уравнению $$4y-3y’=25\cos(x)$$.
   б) Докажите, что функция $$y=\frac{1}{\sin(x)}-\operatorname{ctg}(x)$$ удовлетворяет уравнению $$y=y’\sin(x)$$.

а) Пусть $$y=4\cos x-3\sin x.$$ Тогда

$$y’=-4\sin x-3\cos x.$$

Подставим в левую часть уравнения:

$$4y-3y’=4(4\cos x-3\sin x)-3(-4\sin x-3\cos x)$$

$$=16\cos x-12\sin x+12\sin x+9\cos x=25\cos x.$$

Следовательно, функция удовлетворяет уравнению $$4y-3y’=25\cos x.$$

б) Пусть $$y=\frac{1}{\sin x}-\ctg x.$$ Тогда

$$y’=\left(\frac{1}{\sin x}\right)’- (\ctg x)’= -\frac{\cos x}{\sin^2 x}+\frac{1}{\sin^2 x}.$$

Умножим производную на $$\sin x$$:

$$y’\sin x=\left(-\frac{\cos x}{\sin^2 x}+\frac{1}{\sin^2 x}\right)\sin x =-\frac{\cos x}{\sin x}+\frac{1}{\sin x}.$$

Так как $$\ctg x=\frac{\cos x}{\sin x},$$ то

$$y’\sin x=\frac{1}{\sin x}-\ctg x=y.$$

Следовательно, функция удовлетворяет уравнению $$y=y’\sin x.$$

Ответ

а) $$4y-3y’=25\cos x$$; б) $$y=y’\sin x$$.