Упр.11.15 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) f(x)=xsin(x), g(x)=-cos(x);
б) f(x)=sin(x)cos(x), g(x)=sin^2(x)-cos^2(x).

1. а) $$f(x)=x\sin x,\quad g(x)=-\cos x.$$

   Найдём производные:

   $$ f'(x)=\sin x+x\cos x,\qquad g'(x)=\sin x. $$

   Решаем уравнение $$f'(x)=g'(x):$$

   $$ \sin x+x\cos x=\sin x $$
   $$ x\cos x=0. $$

   Отсюда:

   $$ x=0 \quad \text{или} \quad \cos x=0. $$

   $$ \cos x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$

2. б) $$f(x)=\sin x\cos x,\quad g(x)=\sin^2 x-\cos^2 x.$$

   Найдём производные:

   $$ f'(x)=\cos^2 x-\sin^2 x, $$
   $$ g'(x)=2\sin x\cos x+2\sin x\cos x=4\sin x\cos x. $$

   Решаем уравнение $$f'(x)=g'(x):$$

   $$ \cos^2 x-\sin^2 x=4\sin x\cos x. $$

   Используем формулы двойного угла:

   $$ \cos 2x=2\sin 2x. $$

   Так как $$\cos 2x\neq 0$$ при решении через тангенс, получаем:

   $$ 2\operatorname{tg}2x=1, $$
   $$ \operatorname{tg}2x=\frac12. $$

   $$ 2x=\arctg\frac12+\pi n,\quad n\in\mathbb Z, $$
   значит
   $$ x=\frac12\arctg\frac12+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z. $$

Ответ

а) $$x=0,\ \frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
б) $$x=\frac12\arctg\frac12+\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z.$$