Упр.11.14 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

Найдите угол между осью $$Ox$$ и касательной, проведённой к графику функции $$y=f(x)$$ в точке $$x=a$$:

а) $$y=2\sin x$$, $$a=\frac{\pi}{6}$$;

б) $$y=\sin x\cos x$$, $$a=\frac{\pi}{2}$$;

в) $$y=\frac{1}{\cos x}$$, $$a=\frac{3\pi}{4}$$;

г) $$y=\frac{2}{3}\cos x$$, $$a=\frac{\pi}{3}$$;

д) $$y=\tg x-\sqrt{2}\sin x$$, $$a=\frac{\pi}{4}$$;

е) $$y=\frac{3}{\sin x}$$, $$a=\frac{2\pi}{3}$$.

Подробный ответ

а) $$y=2\sin x,\quad a=\frac{\pi}{6}$$
Найдём производную:
$$f'(x)=2\cos x$$
Тогда
$$f’\!\left(\frac{\pi}{6}\right)=2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$$
Угол наклона касательной удовлетворяет равенству $$\tan \alpha=\sqrt{3}$$, значит
$$\alpha=60^\circ$$
б) $$y=\sin x\cos x,\quad a=\frac{\pi}{2}$$
Найдём производную:
$$f'(x)=\cos^2 x-\sin^2 x$$
Тогда
$$f’\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=0^2-1^2=-1$$
Следовательно, $$\tan \alpha=-1$$, откуда
$$\alpha=135^\circ$$
в) $$y=\frac{1}{\cos x},\quad a=\frac{3\pi}{4}$$
Найдём производную:
$$f'(x)=\frac{\sin x}{\cos^2 x}$$
Тогда
$$f’\!\left(\frac{3\pi}{4}\right)=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2}=\sqrt{2}$$
Значит,
$$\tan \alpha=\sqrt{2}$$
Отсюда
$$\alpha=\arctg \sqrt{2}$$
г) $$y=\frac{2}{3}\cos x,\quad a=\frac{\pi}{3}$$
Найдём производную:
$$f'(x)=-\frac{2}{3}\sin x$$
Тогда
$$f’\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{2}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{3}$$
Следовательно, $$\tan \alpha=-\frac{\sqrt{3}}{3}$$, значит
$$\alpha=150^\circ$$
д) $$y=\tg x-\sqrt{2}\sin x,\quad a=\frac{\pi}{4}$$
Найдём производную:
$$f'(x)=\frac{1}{\cos^2 x}-\sqrt{2}\cos x$$
Тогда
$$f’\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\left(\frac{2}{\sqrt{2}}\right)^2-\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=1$$
Значит,
$$\tan \alpha=1,\quad \alpha=45^\circ$$
е) $$y=\frac{3}{\sin x},\quad a=\frac{2\pi}{3}$$
Найдём производную:
$$f'(x)=-\frac{3\cos x}{\sin^2 x}$$
Тогда
$$f’\!\left(\frac{2\pi}{3}\right)=-\frac{3\cdot \left(-\frac12\right)}{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2}=2$$
Следовательно,
$$\tan \alpha=2,\quad \alpha=\arctg 2$$