Упр.11.13 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
а) f(x)=sin(x), y=-x+4;
б) f(x)=-3ctg(x), y=4x-2;
в) f(x)=v3x-2cos(x), y=8;
г) f(x)=cos(x), y=(1/2)x-3;
д) f(x)=tg(x), y=x-2;
е) f(x)=x-v2sin(x), y=1+2x.
а) Для параллельности касательной и прямой $$y=-x+4$$ их угловые коэффициенты должны быть равны. У прямой коэффициент наклона равен $$-1$$.
$$f(x)=\sin x,\quad f'(x)=\cos x.$$
Ищем точки, где
$$\cos x=-1.$$
Отсюда
$$x=\pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
б) У прямой $$y=4x-2$$ угловой коэффициент равен $$4$$.
$$f(x)=-3\ctg x,\quad f'(x)=\frac{3}{\sin^2 x}.$$
Решаем уравнение
$$\frac{3}{\sin^2 x}=4.$$
Тогда
$$\sin^2 x=\frac{3}{4},\qquad \sin x=\pm\frac{\sqrt3}{2}.$$
Следовательно,
$$x=\pm\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
в) У прямой $$y=8$$ угловой коэффициент равен $$0$$.
$$f(x)=\sqrt3\,x-2\cos x,\quad f'(x)=\sqrt3+2\sin x.$$
Ищем точки, где
$$\sqrt3+2\sin x=0.$$
Тогда
$$\sin x=-\frac{\sqrt3}{2}.$$
Отсюда
$$x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
г) У прямой $$y=\frac12x-3$$ угловой коэффициент равен $$\frac12$$.
$$f(x)=\cos x,\quad f'(x)=-\sin x.$$
Решаем уравнение
$$-\sin x=\frac12,$$
то есть
$$\sin x=-\frac12.$$
Следовательно,
$$x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
д) У прямой $$y=x-2$$ угловой коэффициент равен $$1$$.
$$f(x)=\tg x,\quad f'(x)=\frac{1}{\cos^2 x}.$$
Ищем точки, где
$$\frac{1}{\cos^2 x}=1.$$
Тогда
$$\cos^2 x=1,\qquad \cos x=\pm1.$$
Отсюда
$$x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
е) У прямой $$y=1+2x$$ угловой коэффициент равен $$2$$.
$$f(x)=x-\sqrt2\sin x,\quad f'(x)=1-\sqrt2\cos x.$$
Решаем уравнение
$$1-\sqrt2\cos x=2.$$
Тогда
$$\sqrt2\cos x=-1,\qquad \cos x=-\frac{\sqrt2}{2}.$$
Следовательно,
$$x=\pm\frac{3\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Ответ
а) $$x=\pi+2\pi n$$; б) $$x=\pm\frac{\pi}{3}+\pi n$$; в) $$x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{3}+\pi n$$; г) $$x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n$$; д) $$x=\pi n$$; е) $$x=\pm\frac{3\pi}{4}+2\pi n$$, $$n\in\mathbb Z$$.
