Дополнительная задача 11 Глава 2 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

а) y(x)=1/f(x); г) ?y=-?f/(f(x)?f(x+?x));
б) y(x+?x)=1/f(x+?x); д) ?y/?x=-?f/?x·1/(f(x)·f(x+?x));
в) (?x>0)lim(y(x+?x))=y(x); е) (1/f(x))’=-f'(x)/f^2(x).

Подробный ответ

Пусть $$y=(f(x))^{-1}.$$ Тогда по определению обратной степени

$$y(x)=\frac{1}{f(x)}.$$

Аналогично

$$y(x+\Delta x)=\frac{1}{f(x+\Delta x)}.$$

Найдём приращение функции:

$$ \Delta y=y(x+\Delta x)-y(x)=\frac{1}{f(x+\Delta x)}-\frac{1}{f(x)}. $$

Приведём к общему знаменателю:

$$ \Delta y=\frac{f(x)-f(x+\Delta x)}{f(x)\,f(x+\Delta x)} =-\frac{\Delta f}{f(x)\,f(x+\Delta x)}. $$

Тогда

$$ \frac{\Delta y}{\Delta x} =-\frac{\Delta f}{\Delta x}\cdot \frac{1}{f(x)\,f(x+\Delta x)}. $$

Переходя к пределу при $$\Delta x\to 0,$$ получаем

$$ y'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x} =-\lim_{\Delta x\to 0}\left(\frac{\Delta f}{\Delta x}\cdot \frac{1}{f(x)\,f(x+\Delta x)}\right). $$

Так как $$\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta f}{\Delta x}=f'(x)$$ и $$\lim_{\Delta x\to 0}f(x+\Delta x)=f(x),$$ то

$$ \left(\frac{1}{f(x)}\right)’=y'(x)=-\frac{f'(x)}{f(x)\cdot f(x)}=-\frac{f'(x)}{f^2(x)}. $$