Упр.11.10 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. Найдите скорость изменения функции в точке $$x_0$$:
   а) $$y=3\sin(x)-x$$, $$x_0=0$$;
   г) $$y=2x-3\cos(x)$$, $$x_0=\frac{\pi}{2}$$;
   б) $$y=2x+\frac{\tg(x)}{4}$$, $$x_0=\frac{\pi}{4}$$;
   д) $$y=3\ctg(x)-2x$$, $$x_0=-\frac{\pi}{4}$$;
   в) $$y=\frac{x}{\pi}\cos(x)$$, $$x_0=\frac{\pi}{2}$$;
   е) $$y=\frac{2x}{\pi}\sin(x)$$, $$x_0=\pi$$.

1. а) $$y=3\sin x-x$$

   Найдём производную:

   $$y’ = 3\cos x — 1$$

   Подставим $$x_0=0$$:

   $$y'(0)=3\cos 0-1=3\cdot 1-1=2$$

2. б) $$y=2x+\frac{\tg x}{4}$$

   $$y’ = 2+\frac{1}{4\cos^2 x}$$

   Подставим $$x_0=\frac{\pi}{4}$$:

   $$y’\left(\frac{\pi}{4}\right)=2+\frac{1}{4\cos^2\frac{\pi}{4}}=2+\frac{1}{4\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^2}=2+\frac14\cdot 2=2.5$$

3. в) $$y=\frac{x}{\pi}\cos x$$

   По правилу произведения:

   $$y’=\frac{1}{\pi}\cos x-\frac{x}{\pi}\sin x$$

   Подставим $$x_0=\frac{\pi}{2}$$:

   $$y’\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{1}{\pi}\cdot 0-\frac{\pi/2}{\pi}\cdot 1=-\frac12$$

4. г) $$y=2x-3\cos x$$

   $$y’ = 2+3\sin x$$

   Подставим $$x_0=\frac{\pi}{2}$$:

   $$y’\left(\frac{\pi}{2}\right)=2+3\cdot 1=5$$

5. д) $$y=3\ctg x-2x$$

   $$y’=-\frac{3}{\sin^2 x}-2$$

   Подставим $$x_0=-\frac{\pi}{4}$$:

   $$y’\left(-\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{3}{\sin^2\left(-\frac{\pi}{4}\right)}-2=-\frac{3}{\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)^2}-2=-3\cdot 2-2=-8$$

6. е) $$y=\frac{2x}{\pi}\sin x$$

   По правилу произведения:

   $$y’=\frac{2}{\pi}\sin x+\frac{2x}{\pi}\cos x$$

   Подставим $$x_0=\pi$$:

   $$y'(\pi)=\frac{2}{\pi}\cdot 0+\frac{2\pi}{\pi}\cdot(-1)=-2$$

Ответ

а) $$2$$; б) $$2.5$$; в) $$-\frac12$$; г) $$5$$; д) $$-8$$; е) $$-2$$.