Упр.10.9 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) y=vx/(x+2); в) y=(x^2+2x)/(-4vx); д) y=(2vx-x)/x^2;
б) y=(1-x)/(2vx); г) y=vx/(x^2-x); е) y=(4x^2+x)/(vx+1).

1. $$y=\frac{\sqrt{x}}{x+2}$$

   Применим правило производной частного:

   $$ y’=\frac{\left(\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)(x+2)-\sqrt{x}\cdot 1}{(x+2)^2} $$

   $$ y’=\frac{x+2-2x}{2\sqrt{x}(x+2)^2}=\frac{2-x}{2\sqrt{x}(x+2)^2} $$

2. $$y=\frac{1-x}{2\sqrt{x}}$$

   По формуле производной частного:

   $$ y’=\frac{(-1)\cdot 2\sqrt{x}-(1-x)\cdot \frac{1}{\sqrt{x}}}{(2\sqrt{x})^2} $$

   $$ y’=\frac{-2x-1+x}{4x\sqrt{x}}=-\frac{x+1}{4x\sqrt{x}} $$

3. $$y=\frac{x^2+2x}{-4\sqrt{x}}$$

   Используем правило производной частного:

   $$ y’=\frac{(2x+2)(-4\sqrt{x})-(x^2+2x)\left(-\frac{2}{\sqrt{x}}\right)}{(-4\sqrt{x})^2} $$

   $$ y’=\frac{-8x\sqrt{x}-8\sqrt{x}+2x\sqrt{x}+4\sqrt{x}}{16x} =-\frac{3x+2}{8\sqrt{x}} $$

4. $$y=\frac{\sqrt{x}}{x^2-x}$$

   Тогда

   $$ y’=\frac{\left(\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)(x^2-x)-\sqrt{x}(2x-1)}{(x^2-x)^2} $$

   $$ y’=\frac{1-3x}{2x\sqrt{x}(x-1)^2} $$

5. $$y=\frac{2\sqrt{x}-x}{x^2}$$

   По формуле производной частного:

   $$ y’=\frac{\left(\frac{1}{\sqrt{x}}-1\right)x^2-(2\sqrt{x}-x)\cdot 2x}{x^4} $$

   $$ y’=\frac{x^2-3x\sqrt{x}}{x^4}=\frac{\sqrt{x}-3}{x^2\sqrt{x}} $$

6. $$y=\frac{4x^2+x}{\sqrt{x}+1}$$

   Применим правило производной частного:

   $$ y’=\frac{(8x+1)(\sqrt{x}+1)-(4x^2+x)\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}}{(\sqrt{x}+1)^2} $$

   $$ y’=\frac{6x\sqrt{x}+\frac{1}{2}\sqrt{x}+8x+1}{(\sqrt{x}+1)^2} $$

Ответ

а) $$y’=\frac{2-x}{2\sqrt{x}(x+2)^2}$$;
б) $$y’=-\frac{x+1}{4x\sqrt{x}}$$;
в) $$y’=-\frac{3x+2}{8\sqrt{x}}$$;
г) $$y’=\frac{1-3x}{2x\sqrt{x}(x-1)^2}$$;
д) $$y’=\frac{\sqrt{x}-3}{x^2\sqrt{x}}$$;
е) $$y’=\frac{6x\sqrt{x}+\frac{1}{2}\sqrt{x}+8x+1}{(\sqrt{x}+1)^2}$$.