Упр.10.6 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
- Используя правила дифференцирования, найдите производную функции: а) $$y=\left(\frac{3}{x}+2x\right)\cdot\sqrt{x}$$; г) $$y=\left(-\frac{5}{x}+x^2\right)\cdot\sqrt{x}$$; б) $$y=\left(7-\frac{4}{x}\right)(2x-5)$$; д) $$y=\left(\frac{2}{x}+\frac{1}{3}\right)(5x-3)$$; в) $$y=(x^3-2x)\left(\frac{8}{x}+x^2\right)$$; е) $$y=(4x-5x^2)\left(3x-\frac{6}{x}\right)$$.
$$y=\left(\frac{3}{x}+2x\right)\sqrt{x}$$
Применим правило производной произведения:
$$y’=\left(-\frac{3}{x^2}+2\right)\sqrt{x}+\left(\frac{3}{x}+2x\right)\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}$$
Упростим:
$$y’=-\frac{3}{x\sqrt{x}}+2\sqrt{x}+\frac{3}{2x\sqrt{x}}+\sqrt{x}$$
$$y’=3\sqrt{x}-\frac{3}{2x\sqrt{x}}=\frac{6x^2-3}{2x\sqrt{x}}$$
$$y=\left(7-\frac{4}{x}\right)(2x-5)$$
$$y’=\frac{4}{x^2}(2x-5)+\left(7-\frac{4}{x}\right)\cdot 2$$
$$y’=\frac{8}{x}-\frac{20}{x^2}+14-\frac{8}{x}=14-\frac{20}{x^2}$$
$$y=(x^3-2x)\left(\frac{8}{x}+x^2\right)$$
$$y’=(3x^2-2)\left(\frac{8}{x}+x^2\right)+(x^3-2x)\left(-\frac{8}{x^2}+2x\right)$$
Раскроем скобки и приведём подобные:
$$y’=24x+3x^4-\frac{16}{x}-2x^2-8x+2x^4+\frac{16}{x}-4x^2$$
$$y’=5x^4-6x^2+16x$$
$$y=\left(-\frac{5}{x}+x^2\right)\sqrt{x}$$
$$y’=\left(\frac{5}{x^2}+2x\right)\sqrt{x}+\left(-\frac{5}{x}+x^2\right)\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}$$
$$y’=\frac{5}{x\sqrt{x}}+2x\sqrt{x}-\frac{5}{2x\sqrt{x}}+\frac{x\sqrt{x}}{2}$$
$$y’=\frac{5x\sqrt{x}}{2}+\frac{5}{2x\sqrt{x}}=\frac{5x^3+5}{2x\sqrt{x}}$$
$$y=\left(\frac{2}{x}+\frac{1}{3}\right)(5x-3)$$
$$y’=-\frac{2}{x^2}(5x-3)+\left(\frac{2}{x}+\frac{1}{3}\right)\cdot 5$$
$$y’=-\frac{10}{x}+\frac{6}{x^2}+\frac{10}{x}+\frac{5}{3}=\frac{18+5x^2}{3x^2}$$
$$y=(4x-5x^2)\left(3x-\frac{6}{x}\right)$$
$$y’=(4-10x)\left(3x-\frac{6}{x}\right)+(4x-5x^2)\left(3+\frac{6}{x^2}\right)$$
После раскрытия скобок и приведения подобных:
$$y’=-45x^2+24x+30$$
Ответ
а) $$y’=\frac{6x^2-3}{2x\sqrt{x}}$$;
б) $$y’=14-\frac{20}{x^2}$$;
в) $$y’=5x^4-6x^2+16x$$;
г) $$y’=\frac{5x^3+5}{2x\sqrt{x}}$$;
д) $$y’=\frac{18+5x^2}{3x^2}$$;
е) $$y’=-45x^2+24x+30$$.
