Дополнительная задача 10 Глава 5 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

а) математическое ожидание M(G) равно p+2qp+3q^2p+4q^3p+5q^4p+…;
б) p+qp+q^2p+q^3p+q^4p+…=p(1+q+q^2+q^3+…)=p(1/(1-q))=1;
в) 0+qp+q^2p+q^3p+q^4p+…=qp(1+q+q^2+q^3+…)=qp(1/(1-q))=q;
г) 0+0+q^2p+q^3p+q^4p+…=q^2p(1+q+q^2+q^3+…)=q^2p(1/(1-q))=q^2 и т. д.;
д) если сложить левые части равенств из пунктов «б» — «г» и т. д., то получится p+2qp+3q^2p+4q^3p+5q^4p+…;
e) M(g)=1+q+q^2+q^3+…=1/(1-q)=1/p.

Подробный ответ

Пусть случайная величина $$G$$ имеет геометрическое распределение:

$$P(G=k)=q^{k-1}p,\quad k=1,2,3,\dots$$

где $$q=1-p$$.

а) Тогда математическое ожидание:

$$M(G)=\sum_{k=1}^{\infty}kq^{k-1}p=p+2qp+3q^2p+4q^3p+5q^4p+\dots$$

б) Рассмотрим сумму:

$$p+qp+q^2p+q^3p+q^4p+\dots=p(1+q+q^2+q^3+\dots)$$

Так как $$|q|<1$$, то

$$1+q+q^2+q^3+\dots=\frac{1}{1-q}$$

Следовательно,

$$p(1+q+q^2+q^3+\dots)=p\cdot \frac{1}{1-q}=p\cdot \frac{1}{p}=1.$$

в)

$$0+qp+q^2p+q^3p+q^4p+\dots=qp(1+q+q^2+q^3+\dots)$$

$$=qp\cdot \frac{1}{1-q}=q.$$

г)

$$0+0+q^2p+q^3p+q^4p+\dots=q^2p(1+q+q^2+q^3+\dots)$$

$$=q^2p\cdot \frac{1}{1-q}=q^2.$$

д) Если сложить левые части равенств из пунктов б–г и далее, получим:

$$\begin{aligned} &\left(p+qp+q^2p+q^3p+q^4p+\dots\right)\\ +&\left(0+qp+q^2p+q^3p+q^4p+\dots\right)\\ +&\left(0+0+q^2p+q^3p+q^4p+\dots\right)+\dots \end{aligned}$$

То есть

$$p+2qp+3q^2p+4q^3p+5q^4p+\dots$$

е) Тогда

$$M(G)=p+2qp+3q^2p+4q^3p+\dots=1+q+q^2+q^3+\dots$$

$$=\frac{1}{1-q}=\frac{1}{p}.$$