Дополнительная задача 10 Глава 4 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов, Александрова 11 класс, Просвещение:

Объём шара радиуса $$1$$:

$$V_{\text{круга}}=\frac{4\pi R^3}{3}=\frac{4\pi}{3}.$$

Если $$a\ge 0$$, то объём меньшей части равен

$$V_{\text{мень}}=\pi\int_a^1(1-x^2)\,dx=\pi\left(x-\frac{x^3}{3}\right)\Bigg|_a^1=\pi\left(\frac23-a+\frac{a^3}{3}\right).$$

Тогда объём большей части:

$$V_{\text{больш}}=\frac{4\pi}{3}-\pi\left(\frac23-a+\frac{a^3}{3}\right)=\pi\left(\frac23+a-\frac{a^3}{3}\right).$$

Искомое отношение:

$$k=\frac{V_{\text{мень}}}{V_{\text{больш}}}=\frac{\frac23-a+\frac{a^3}{3}}{\frac23+a-\frac{a^3}{3}}.$$

а) $$a=0$$:

$$k=\frac{\frac23}{\frac23}=1,$$

значит, $$1:1$$.

б) $$a=\frac12$$:

$$k=\frac{\frac23-\frac12+\frac{1}{24}}{\frac23+\frac12-\frac{1}{24}}=\frac{5}{27},$$

значит, $$5:27$$.

в) $$a=-\frac12$$:

$$k=\frac{\frac23+\frac12-\frac{1}{24}}{\frac23-\frac12+\frac{1}{24}}=\frac{27}{5},$$

значит, $$27:5$$.

г) $$a=\frac13$$:

$$k=\frac{\frac23-\frac13+\frac{1}{81}}{\frac23+\frac13-\frac{1}{81}}=\frac{7}{20},$$

значит, $$7:20$$.

д) $$a=\frac23$$:

$$k=\frac{\frac23-\frac23+\frac{8}{81}}{\frac23+\frac23-\frac{8}{81}}=\frac{2}{25},$$

значит, $$2:25$$.

е) $$a=\frac15$$:

$$k=\frac{\frac23-\frac15+\frac{1}{375}}{\frac23+\frac15-\frac{1}{375}}=\frac{44}{81},$$

значит, $$44:81$$.

Ответ

а) $$1:1$$; б) $$5:27$$; в) $$27:5$$; г) $$7:20$$; д) $$2:25$$; е) $$44:81$$.