Дополнительная задача 10 Глава 3 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) x=(t+1)^2+5?5, y=(t-5)^2+8?8;
б) площадь S=S(t)=0,5x(y(t)-3);
в) S=S(t)=0,5(t^4-8t^3+16t^2+180);
г) S'(t)=2t(t-2)(t-4);
д) S'(t)=0 на этом отрезке только при t=4;
е) S_наим=S(4)=90.

Пусть $$A(x;0)$$, $$B(0;y)$$, где

$$x(t)=t^2+2t+6,\qquad y(t)=t^2-10t+33,\qquad 3{,}3\le t\le 5{,}5.$$

Тогда

$$x(t)=(t+1)^2+5\ge 5,$$

$$y(t)=(t-5)^2+8\ge 8.$$

Площадь треугольника $$ABC$$ равна

$$S(t)=\frac12\cdot x(t)\cdot (y(t)-3).$$

Так как $$y(t)-3=t^2-10t+30,$$ получаем

$$S(t)=\frac12(t^2+2t+6)(t^2-10t+30).$$

Раскроем скобки:

$$ S(t)=\frac12\left(t^4-8t^3+16t^2+180\right). $$

Найдём производную:

$$ S'(t)=\frac12(4t^3-24t^2+32t)=2t(t^2-6t+8)=2t(t-2)(t-4). $$

На отрезке $$3{,}3\le t\le 5{,}5$$ критическая точка только одна: $$t=4$$.

Проверим значение функции в этой точке:

$$ S(4)=\frac12\left(4^4-8\cdot 4^3+16\cdot 4^2+180\right) =\frac12(256-512+256+180)=90. $$

Следовательно, наименьшее значение площади равно $$90$$.

Ответ

$$90$$