Упр.10.35 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов, Александрова 11 класс, Просвещение: При каких значениях параметра b уравнение 9^x+2b·3^(x+1)+9=0 не имеет корней?

Положим $$t=3^x,$$ тогда $$t>0.$$ Получаем квадратное уравнение:

$$t^2+6bt+9=0.$$

Чтобы исходное уравнение не имело корней, нужно, чтобы это квадратное уравнение не имело положительных корней.

Найдём дискриминант:

$$D=(6b)^2-4\cdot 1\cdot 9=36(b^2-1).$$

Тогда

$$t_{1,2}=\frac{-6b\pm 6\sqrt{b^2-1}}{2}=-3b\pm 3\sqrt{b^2-1}.$$

Рассмотрим случаи.

1) Если $$b^2-1<0,$$ то действительных корней у квадратного уравнения нет, значит, и исходное уравнение корней не имеет. Это выполняется при

$$-1<b<1.$$

2) Если $$b^2-1\ge 0,$$ то корни есть. Чтобы исходное уравнение не имело корней, оба корня должны быть неположительными. Для большего корня:

$$-3b+3\sqrt{b^2-1}\le 0,$$

то есть

$$\sqrt{b^2-1}\le b.$$

Это возможно только при $$b>0.$$ Возводим в квадрат:

$$b^2-1\le b^2,$$

что верно всегда. Значит, при $$b\ge 1$$ условие выполняется, а при $$0<b<1$$ корней нет уже по пункту 1.

Итак, исходное уравнение не имеет корней при

$$b>-1.$$

Ответ

$$b\in(-1;+\infty).$$