Упр.10.34 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

а) (x^2+4x+4)/(3^x-27)?0; в) (25-0,2^x)/(4x^2+4x+1)?0;
б) (0,2^x-0,008)/(x^2-10x+25)<0; г) (x^2+6x+9)/(2^x-4)>0.

Подробный ответ

а) $$\frac{x^2+4x+4}{3^x-27}\ge 0$$
Преобразуем числитель:
$$x^2+4x+4=(x+2)^2.$$
Тогда
$$\frac{(x+2)^2}{3^x-27}\ge 0.$$
Числитель неотрицателен и равен нулю при $$x=-2$$. Знаменатель обращается в нуль при
$$3^x-27=0 \Rightarrow 3^x=27=3^3 \Rightarrow x=3.$$
Для $$x>3$$ знаменатель положителен, значит дробь неотрицательна. При $$x=-2$$ значение дроби равно нулю и подходит.
Итак, $$x\in\{-2\}\cup(3;+\infty).$$
б) $$\frac{0{,}2^x-0{,}008}{x^2-10x+25}<0$$
Преобразуем знаменатель:
$$x^2-10x+25=(x-5)^2.$$
Тогда
$$\frac{0{,}2^x-0{,}008}{(x-5)^2}<0.$$
Так как $$ (x-5)^2>0 $$ при $$x\ne 5$$, знак дроби определяется числителем. Нужно, чтобы
$$0{,}2^x-0{,}008<0.$$
Заметим, что $$0{,}008=0{,}2^3$$, а основание $$0{,}2\in(0;1)$$, поэтому
$$0{,}2^x<0{,}2^3 \Rightarrow x>3.$$
С учётом области определения $$x\ne 5$$ получаем
$$x\in(3;5)\cup(5;+\infty).$$
в) $$\frac{25-0{,}2^x}{4x^2+4x+1}\ge 0$$
Преобразуем знаменатель:
$$4x^2+4x+1=(2x+1)^2.$$
Тогда
$$\frac{25-0{,}2^x}{(2x+1)^2}\ge 0.$$
Знаменатель положителен при $$x\ne -\frac12$$, значит нужно решить неравенство
$$25-0{,}2^x\ge 0.$$
Так как $$25=0{,}2^{-2}$$ и основание $$0{,}2\in(0;1)$$, то
$$0{,}2^x\le 0{,}2^{-2}\Rightarrow x\ge -2.$$
Исключаем точку $$x=-\frac12$$, где знаменатель равен нулю.
Ответ:
$$x\in[-2;-\tfrac12)\cup(-\tfrac12;+\infty).$$
г) $$\frac{x^2+6x+9}{2^x-4}>0$$
Преобразуем числитель:
$$x^2+6x+9=(x+3)^2.$$
Тогда
$$\frac{(x+3)^2}{2^x-4}>0.$$
Числитель положителен при $$x\ne -3$$ и равен нулю при $$x=-3$$. Чтобы дробь была положительной, знаменатель должен быть положительным:
$$2^x-4>0 \Rightarrow 2^x>4=2^2 \Rightarrow x>2.$$
При $$x>2$$ числитель тоже положителен, а точка $$x=-3$$ сюда не входит.
Следовательно,
$$x\in(2;+\infty).$$