Упр.10.33 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. Решите уравнение: а) $$\log_3(x)-2\log_x(3)=-1$$; в) $$\log_7(x)-6\log_x(7)=1$$; б) $$\log_5(x)+2\log_x(5)=3$$; г) $$\log_2(x)+9\log_x(2)=10$$.

1. а) Обозначим $$y=\log_3 x$$. Тогда $$\log_x 3=\frac{1}{\log_3 x}=\frac{1}{y}$$, и уравнение принимает вид

   $$y-2\cdot \frac{1}{y}=-1.$$

   Умножим на $$y$$:

   $$y^2+y-2=0.$$

   $$D=1+8=9,$$

   $$y_1=\frac{-1-3}{2}=-2,\qquad y_2=\frac{-1+3}{2}=1.$$

   Тогда

   $$\log_3 x=-2 \Rightarrow x=3^{-2}=\frac{1}{9},$$

   $$\log_3 x=1 \Rightarrow x=3.$$

2. б) Пусть $$y=\log_5 x$$. Тогда $$\log_x 5=\frac{1}{y}$$, и получаем

   $$y+2\cdot \frac{1}{y}=3.$$

   Умножим на $$y$$:

   $$y^2-3y+2=0.$$

   $$D=9-8=1,$$

   $$y_1=\frac{3-1}{2}=1,\qquad y_2=\frac{3+1}{2}=2.$$

   Следовательно,

   $$\log_5 x=1 \Rightarrow x=5,$$

   $$\log_5 x=2 \Rightarrow x=25.$$

3. в) Пусть $$y=\log_7 x$$. Тогда $$\log_x 7=\frac{1}{y}$$, и уравнение имеет вид

   $$y-6\cdot \frac{1}{y}=1.$$

   Умножим на $$y$$:

   $$y^2-y-6=0.$$

   $$D=1+24=25,$$

   $$y_1=\frac{1-5}{2}=-2,\qquad y_2=\frac{1+5}{2}=3.$$

   Тогда

   $$\log_7 x=-2 \Rightarrow x=7^{-2}=\frac{1}{49},$$

   $$\log_7 x=3 \Rightarrow x=7^3=343.$$

4. г) Пусть $$y=\log_2 x$$. Тогда $$\log_x 2=\frac{1}{y}$$, и получаем

   $$y+9\cdot \frac{1}{y}=10.$$

   Умножим на $$y$$:

   $$y^2-10y+9=0.$$

   $$D=100-36=64,$$

   $$y_1=\frac{10-8}{2}=1,\qquad y_2=\frac{10+8}{2}=9.$$

   Следовательно,

   $$\log_2 x=1 \Rightarrow x=2,$$

   $$\log_2 x=9 \Rightarrow x=512.$$

Ответ

а) $$\frac{1}{9},\ 3$$; б) $$5,\ 25$$; в) $$\frac{1}{49},\ 343$$; г) $$2,\ 512$$.