Упр.10.30 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

б) Профиль моста имеет форму параболы с осью, проходящей вертикально через середину моста, длина основания которого равна 120 м, а высота центральной части — 10 м. Каким должен быть наклон насыпи на обоих концах моста?

а) Пусть вершина параболы находится в начале координат, тогда профиль моста можно задать уравнением

$$y=-ax^2+c.$$

Так как точки $A$ и $B$ лежат на оси абсцисс и расстояние между ними равно $200$ м, то

$$x_A=-100,\quad x_B=100,\quad y(\pm 100)=0.$$

Отсюда

$$10000a=c.$$

Въезд и съезд с моста касательны к параболе и образуют с горизонтом угол $15^\circ$, значит угловой коэффициент касательной равен

$$k=\tan 15^\circ=2-\sqrt{3}.$$

Производная функции:

$$y’=-2ax.$$

В точке $x=100$ имеем

$$y'(100)=-200a=-(2-\sqrt{3}),$$

откуда

$$a=\frac{2-\sqrt{3}}{200}.$$

Тогда

$$c=10000a=50(2-\sqrt{3}).$$

Следовательно, уравнение профиля моста:

$$y=\frac{\sqrt{3}-2}{200}x^2+50(2-\sqrt{3}).$$

б) Пусть вершина параболы находится в середине моста, тогда

$$y=-ax^2+10.$$

Основание моста равно $120$ м, значит

$$y(\pm 60)=0.$$

Тогда

$$-3600a+10=0,\qquad a=\frac{1}{360}.$$

Производная:

$$y’=-2ax=-\frac{x}{180}.$$

В точке $x=60$ получаем

$$y'(60)=-\frac{1}{3}.$$

Значит, наклон насыпи по модулю равен

$$\tan \beta=\frac{1}{3},$$

откуда

$$\beta=\arctan \frac{1}{3}.$$

Ответ

а) $$y=\frac{\sqrt{3}-2}{200}x^2+50(2-\sqrt{3}).$$

б) $$\beta=\arctan \frac{1}{3}.$$