Упр.10.30 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
а) Строится мост параболической формы, соединяющий пункты $$A$$ и $$B$$, расстояние между которыми $$200\ м$$. Въезд на мост и съезд с моста должны быть прямолинейными участками, касательными к параболе и направленными к горизонту под углом $$15^\circ$$. Составьте уравнение профиля моста в системе координат $$xOy$$, где ось абсцисс проходит через точки $$A$$ и $$B$$, а ось ординат проходит через середину отрезка $$AB$$.
б) Профиль моста имеет форму параболы с осью, проходящей вертикально через середину моста, длина основания которого равна $$120\ м$$, а высота центральной части — $$10\ м$$. Каким должен быть наклон насыпи на обоих концах моста?
а) Пусть вершина параболы находится в начале координат, тогда профиль моста можно задать уравнением
$$y=-ax^2+c.$$
Так как точки $$A$$ и $$B$$ лежат на оси абсцисс и расстояние между ними равно $$200$$ м, то
$$x_A=-100,\quad x_B=100,\quad y(\pm 100)=0.$$
Отсюда
$$10000a=c.$$
Въезд и съезд с моста касательны к параболе и образуют с горизонтом угол $$15^\circ$$, значит угловой коэффициент касательной равен
$$k=\tan 15^\circ=2-\sqrt{3}.$$
Производная функции:
$$y’=-2ax.$$
В точке $$x=100$$ имеем
$$y'(100)=-200a=-(2-\sqrt{3}),$$
откуда
$$a=\frac{2-\sqrt{3}}{200}.$$
Тогда
$$c=10000a=50(2-\sqrt{3}).$$
Следовательно, уравнение профиля моста:
$$y=\frac{\sqrt{3}-2}{200}x^2+50(2-\sqrt{3}).$$
б) Пусть вершина параболы находится в середине моста, тогда
$$y=-ax^2+10.$$
Основание моста равно $$120$$ м, значит
$$y(\pm 60)=0.$$
Тогда
$$-3600a+10=0,\qquad a=\frac{1}{360}.$$
Производная:
$$y’=-2ax=-\frac{x}{180}.$$
В точке $$x=60$$ получаем
$$y'(60)=-\frac{1}{3}.$$
Значит, наклон насыпи по модулю равен
$$\tan \beta=\frac{1}{3},$$
откуда
$$\beta=\arctan \frac{1}{3}.$$
Ответ
а) $$y=\frac{\sqrt{3}-2}{200}x^2+50(2-\sqrt{3}).$$
б) $$\beta=\arctan \frac{1}{3}.$$
