Упр.10.29 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов, Александрова 11 класс, Просвещение: Прямая y = 7x — 10 касается параболы y = ax^2 + bx + c в точке с абсциссой x = 2 и пересекает ось абсцисс в точке x = 1. Найдите значения коэффициентов a, b, c.

Пусть парабола задана уравнением $$y=ax^2+bx+c.$$

Так как прямая $$y=7x-10$$ касается параболы в точке с абсциссой $$x=2,$$ то:

• угловые коэффициенты касательной и параболы в этой точке равны;
• точка касания принадлежит и прямой, и параболе.

Найдём производную параболы:

$$y’=2ax+b.$$

В точке касания $$x=2$$ производная равна угловому коэффициенту касательной:

$$2a\cdot 2+b=7,$$

$$4a+b=7.$$

Так как прямая пересекает ось $$Ox$$ в точке с абсциссой $$x=1,$$ то точка $$A(1;0)$$ лежит на параболе:

$$a+b+c=0.$$

Точка касания имеет координаты $$\bigl(2;\,7\cdot 2-10\bigr)=(2;4).$$ Подставим её в уравнение параболы:

$$4a+2b+c=4.$$

Решим систему:

$$ \begin{cases} 4a+b=7,\\ a+b+c=0,\\ 4a+2b+c=4. \end{cases} $$

Из первого уравнения:

$$b=7-4a.$$

Подставим во второе:

$$a+7-4a+c=0,$$

$$c=3a-7.$$

Подставим в третье:

$$4a+2(7-4a)+(3a-7)=4,$$

$$4a+14-8a+3a-7=4,$$

$$-a+7=4,$$

$$a=3.$$

Тогда

$$b=7-4\cdot 3=-5,$$

$$c=3\cdot 3-7=2.$$

Ответ

$$a=3,\quad b=-5,\quad c=2.$$