Упр.10.28 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов, Александрова 11 класс, Просвещение: При каких значениях параметра p касательные к графику функции y = 4x^2 — |p|x, проведённые в точках его пересечения с осью абсцисс, образуют между собой угол 60°? При каких значениях параметра b уравнение 9^x+2b·3^(x+1)+9=0 не имеет корней?

1) Найдём значения параметра p, при которых касательные к графику функции $$y=4x^2-|p|x$$ в точках пересечения с осью абсцисс образуют угол $$60^\circ$$.

Точки пересечения с осью абсцисс найдём из уравнения

$$4x^2-|p|x=0,$$

$$x(4x-|p|)=0,$$

откуда

$$x_1=0,\qquad x_2=\frac{|p|}{4}.$$

Производная функции:

$$y’=8x-|p|.$$

Угловые коэффициенты касательных в этих точках:

$$k_1=y'(0)=-|p|,$$

$$k_2=y’\!\left(\frac{|p|}{4}\right)=2|p|-|p|=|p|.$$

Тогда тангенс угла между касательными равен

$$\tan 60^\circ=\left|\frac{k_2-k_1}{1+k_1k_2}\right|=\left|\frac{|p|-(-|p|)}{1-|p|^2}\right|=\left|\frac{2|p|}{1-p^2}\right|=\sqrt{3}.$$

Рассмотрим два случая.

Если $$|p|<1,$$ то

$$\frac{2|p|}{1-p^2}=\sqrt{3},$$

$$\sqrt{3}p^2+2|p|-\sqrt{3}=0.$$

Положим $$t=|p|\ge 0.$$ Тогда

$$\sqrt{3}t^2+2t-\sqrt{3}=0,$$

$$D=4+12=16,$$

$$t=\frac{-2\pm 4}{2\sqrt{3}}.$$

Подходит только

$$t=\frac{\sqrt{3}}{3}.$$

Значит,

$$|p|=\frac{\sqrt{3}}{3},\qquad p=\pm \frac{\sqrt{3}}{3}.$$

Если $$|p|>1,$$ то

$$\frac{2|p|}{p^2-1}=\sqrt{3},$$

$$\sqrt{3}p^2-2|p|-\sqrt{3}=0.$$

Положим $$t=|p|>1.$$ Тогда

$$\sqrt{3}t^2-2t-\sqrt{3}=0,$$

$$D=4+12=16,$$

$$t=\frac{2\pm 4}{2\sqrt{3}}.$$

Подходит только

$$t=\sqrt{3}.$$

Следовательно,

$$p=\pm \sqrt{3}.$$

2) Рассмотрим уравнение

$$9^x+2b\cdot 3^{x+1}+9=0.$$

Положим $$t=3^x, t>0.$$ Тогда

$$t^2+6bt+9=0.$$

Чтобы уравнение не имело корней, достаточно, чтобы его корни по переменной $$t$$ были неположительными или отсутствовали. Найдём дискриминант:

$$D=(6b)^2-4\cdot 9=36(b^2-1).$$

Если $$-1<b<1,$$ то $$D<0$$, и действительных корней нет.

Если $$b\ge 1,$$ то корни по $$t$$ существуют, но

$$t_{1,2}=-3b\pm 3\sqrt{b^2-1}.$$

При $$b\ge 1$$ оба корня не положительны, значит, условию $$t>0$$ они не удовлетворяют.

Если $$b\le -1,$$ то один из корней положителен, и тогда корень по $$x$$ существует.

Следовательно, уравнение не имеет корней при

$$b\in(-1;1).$$

Ответ

$$p=\pm \frac{\sqrt{3}}{3},\ \pm \sqrt{3};\qquad b\in(-1;1).$$