Упр.10.27 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
б) Найдите угол между касательными, проведёнными к графику функции y = x^3 — 7x^2 + 14x — 7 в точках x = 1, x = 2. Решите неравенство:
а) (x^2+4x+4)/(3^x-27)?0; в) (25-0,2^x)/(4x^2+4x+1)?0;
б) (0,2^x-0,008)/(x^2-10x+25)<0; г) (x^2+6x+9)/(2^x-4)>0.
а) Пусть касательные к графику $$y=\frac{\sqrt{3}}{6}(1-x^2)$$ пересекаются под углом $$120^\circ$$. Тогда острый угол между ними равен
$$180^\circ-120^\circ=60^\circ.$$
Так как график функции чётный, точки касания симметричны относительно оси ординат: $$x=a$$ и $$x=-a$$. Тогда угол наклона каждой касательной к оси абсцисс равен
$$\alpha=90^\circ-\frac{60^\circ}{2}=30^\circ.$$
Найдём производную:
$$y'(x)=\frac{\sqrt{3}}{6}\cdot(-2x)=-\frac{\sqrt{3}}{3}x.$$
Приравняем производную к угловому коэффициенту касательной $$\tan 30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{3}$$:
$$-\frac{\sqrt{3}}{3}x=\frac{\sqrt{3}}{3}, \quad x=-1,$$
а для второй точки симметрично получаем $$x=1.$$
Найдём уравнения касательных.
При $$x=-1$$:
$$y(-1)=\frac{\sqrt{3}}{6}(1-1)=0,\qquad y'(-1)=\frac{\sqrt{3}}{3}.$$
Тогда
$$y=0+\frac{\sqrt{3}}{3}(x+1),$$
то есть
$$y=\frac{\sqrt{3}}{3}x+\frac{\sqrt{3}}{3}.$$
При $$x=1$$:
$$y(1)=\frac{\sqrt{3}}{6}(1-1)=0,\qquad y'(1)=-\frac{\sqrt{3}}{3}.$$
Тогда
$$y=0-\frac{\sqrt{3}}{3}(x-1),$$
то есть
$$y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x+\frac{\sqrt{3}}{3}.$$
б) Для функции $$y=x^3-7x^2+14x-7$$ найдём производную:
$$y'(x)=3x^2-14x+14.$$
Угловые коэффициенты касательных в точках $$x=1$$ и $$x=2$$:
$$y'(1)=3-14+14=3,$$
$$y'(2)=12-28+14=-2.$$
Тогда
$$\tan \beta=\left|\frac{3-(-2)}{1+3\cdot(-2)}\right|=\left|\frac{5}{-5}\right|=1.$$
Следовательно,
$$\beta=45^\circ.$$
а)
$$\frac{x^2+4x+4}{3^x-27}\ge 0.$$
Преобразуем:
$$\frac{(x+2)^2}{3^x-27}\ge 0.$$
Числитель неотрицателен и равен нулю при $$x=-2$$. Знаменатель обращается в нуль при
$$3^x-27=0 \Rightarrow 3^x=27 \Rightarrow x=3.$$
Для $$x>3$$ знаменатель положителен, значит дробь неотрицательна. При $$x=-2$$ значение дроби равно нулю и допустимо.
Итак,
$$x\in\{-2\}\cup(3;+\infty).$$
б)
$$\frac{0{,}2^x-0{,}008}{x^2-10x+25}<0.$$
Преобразуем знаменатель:
$$\frac{0{,}2^x-0{,}008}{(x-5)^2}<0.$$
Так как $$ (x-5)^2>0 $$ при $$x\ne 5$$, то дробь отрицательна тогда и только тогда, когда числитель отрицателен:
$$0{,}2^x-0{,}008<0.$$
Заметим, что $$0{,}008=0{,}2^3$$, значит
$$0{,}2^x<0{,}2^3.$$
Так как основание $$0{,}2<1$$, получаем
$$x>3.$$
С учётом ограничения $$x\ne 5$$:
$$x\in(3;5)\cup(5;+\infty).$$
в)
$$\frac{25-0{,}2^x}{4x^2+4x+1}\ge 0.$$
Преобразуем знаменатель:
$$\frac{25-0{,}2^x}{(2x+1)^2}\ge 0.$$
Знаменатель положителен при $$x\ne -\frac12$$, поэтому нужно, чтобы числитель был неотрицателен:
$$25-0{,}2^x\ge 0.$$
Так как $$25=0{,}2^{-2}$$, имеем
$$0{,}2^x\le 0{,}2^{-2}.$$
При основании $$0{,}2<1$$ получаем
$$x\ge -2.$$
Исключаем точку $$x=-\frac12$$:
$$x\in[-2;-\tfrac12)\cup(-\tfrac12;+\infty).$$
г)
$$\frac{x^2+6x+9}{2^x-4}>0.$$
Преобразуем:
$$\frac{(x+3)^2}{2^x-4}>0.$$
Числитель неотрицателен и равен нулю при $$x=-3$$. Для положительности дроби нужен положительный знаменатель:
$$2^x-4>0 \Rightarrow 2^x>4 \Rightarrow x>2.$$
При $$x>2$$ числитель положителен, значит неравенство выполняется. Точка $$x=-3$$ не подходит, так как не удовлетворяет условию $$x>2$$.
Следовательно,
$$x\in(2;+\infty).$$
Ответ
а) $$y=\frac{\sqrt{3}}{3}x+\frac{\sqrt{3}}{3},\quad y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x+\frac{\sqrt{3}}{3}$$;
б) $$45^\circ$$;
а) $$\{-2\}\cup(3;+\infty)$$;
б) $$ (3;5)\cup(5;+\infty) $$;
в) $$[-2;-\tfrac12)\cup(-\tfrac12;+\infty)$$;
г) $$ (2;+\infty) $$.
