Упр.10.26 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
а) log_3(x)-2log_x(3)=-1; в) log_7(x)-6log_x(7)=1;
б) log_5(x)+2log_x(5)=3; г) log_2(x)+9log_x(2)=10.
1) Касательная к графику $$y=\frac{1}{x^2},\ x<0$$
Найдём производную:
$$y’=-\frac{2}{x^3}.$$
Пусть касательная проведена в точке $$x=a,\ a<0$$. Тогда
$$y(a)=\frac{1}{a^2}, \qquad y'(a)=-\frac{2}{a^3}.$$
Уравнение касательной:
$$y=\frac{1}{a^2}-\frac{2}{a^3}(x-a)=\frac{3a-2x}{a^3}.$$
Найдём точки пересечения с осями координат:
с осью $$Ox$$:
$$\frac{3a-2x}{a^3}=0 \Rightarrow x=\frac{3}{2}a;$$
с осью $$Oy$$:
$$y(0)=\frac{3a}{a^3}=\frac{3}{a^2}.$$
Площадь треугольника:
$$S=\frac{1}{2}\left|\frac{3}{2}a\right|\left|\frac{3}{a^2}\right|=\frac{9}{4|a|}.$$
По условию $$S=\frac{9}{8}$$, значит
$$\frac{9}{4|a|}=\frac{9}{8}, \qquad |a|=2.$$
Так как $$a<0$$, то $$a=-2$$.
Подставим в уравнение касательной:
$$y=\frac{3(-2)-2x}{(-2)^3}=\frac{1}{4}x+\frac{3}{4}.$$
2) Решим уравнения
$$\log_3 x-2\log_x 3=-1.$$
Положим $$t=\log_3 x$$. Тогда $$\log_x 3=\frac{1}{t}$$, и получаем
$$t-\frac{2}{t}=-1.$$
Умножим на $$t$$:
$$t^2+t-2=0.$$
$$t_1=-2,\quad t_2=1.$$
Тогда
$$\log_3 x=-2 \Rightarrow x=3^{-2}=\frac{1}{9},$$
$$\log_3 x=1 \Rightarrow x=3.$$
$$\log_5 x+2\log_x 5=3.$$
Положим $$t=\log_5 x$$, тогда $$\log_x 5=\frac{1}{t}$$:
$$t+\frac{2}{t}=3.$$
Умножим на $$t$$:
$$t^2-3t+2=0.$$
$$t_1=1,\quad t_2=2.$$
Следовательно,
$$\log_5 x=1 \Rightarrow x=5,$$
$$\log_5 x=2 \Rightarrow x=25.$$
$$\log_7 x-6\log_x 7=1.$$
Положим $$t=\log_7 x$$, тогда $$\log_x 7=\frac{1}{t}$$:
$$t-\frac{6}{t}=1.$$
Умножим на $$t$$:
$$t^2-t-6=0.$$
$$t_1=-2,\quad t_2=3.$$
Тогда
$$\log_7 x=-2 \Rightarrow x=7^{-2}=\frac{1}{49},$$
$$\log_7 x=3 \Rightarrow x=7^3=343.$$
$$\log_2 x+9\log_x 2=10.$$
Положим $$t=\log_2 x$$, тогда $$\log_x 2=\frac{1}{t}$$:
$$t+\frac{9}{t}=10.$$
Умножим на $$t$$:
$$t^2-10t+9=0.$$
$$t_1=1,\quad t_2=9.$$
Следовательно,
$$\log_2 x=1 \Rightarrow x=2,$$
$$\log_2 x=9 \Rightarrow x=512.$$
Ответ
$$y=\frac{1}{4}x+\frac{3}{4};$$
а) $$x=\frac{1}{9},\ 3$$; б) $$x=5,\ 25$$; в) $$x=\frac{1}{49},\ 343$$; г) $$x=2,\ 512$$.
