Упр.10.25 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. а) Найдите значение параметра $$p$$, при котором прямая $$y=p-x$$ касается параболы $$y=x^2-2x+4$$.
   б) Найдите значение параметра $$p$$, при котором прямая $$y=2x-p$$ касается гиперболы $$y=-\frac{2}{x-1}$$.

а) Прямая $$y=p-x$$ касается параболы $$y=x^2-2x+4$$, значит, уравнение их пересечения имеет один корень:

$$x^2-2x+4=p-x$$

$$x^2-x+(4-p)=0$$

Для касания дискриминант равен нулю:

$$D=(-1)^2-4(4-p)=0$$

$$1-16+4p=0$$

$$4p=15$$

$$p=\frac{15}{4}$$

б) Прямая $$y=2x-p$$ касается гиперболы $$y=-\dfrac{2}{x-1}$$, значит, уравнение пересечения имеет один корень:

$$2x-p=-\frac{2}{x-1}$$

Умножим на $$x-1$$, учитывая, что $$x\ne 1$$:

$$(2x-p)(x-1)=-2$$

$$2x^2-(p+2)x+p+2=0$$

Для касания дискриминант равен нулю:

$$D=(p+2)^2-4\cdot 2\cdot (p+2)=0$$

$$(p+2)^2-8(p+2)=0$$

$$(p+2)(p-6)=0$$

$$p=-2 \text{ или } p=6$$

Ответ

а) $$\frac{15}{4}$$; б) $$-2$$, $$6$$.