Упр.10.24 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

а) f(x)=(2/3)x^3+4x^2+6x; г) f(x)=20x-0,5x^2-(1/3)x^3;
б) f(x)=(x^2-5)(x-1); д) f(x)=(x^2-7)(x-2);
в) f(x)=x^3/(3x+1); е) f(x)=(2x-1)/(2x^3).

Подробный ответ

а) $$f(x)=\frac{2}{3}x^3+4x^2+6x$$
$$f'(x)=2x^2+8x+6$$
Решим неравенство:
$$2x^2+8x+6<0$$
$$x^2+4x+3<0$$
$$\left(x+3\right)\left(x+1\right)<0$$
Отсюда:
$$-3<x<-1$$
б) $$f(x)=\left(x^2-5\right)\left(x-1\right)$$
$$f'(x)=2x(x-1)+\left(x^2-5\right)$$
$$f'(x)=3x^2-2x-5$$
Решим неравенство:
$$3x^2-2x-5<0$$
$$D=(-2)^2-4\cdot 3\cdot(-5)=64$$
$$x_{1,2}=\frac{2\pm 8}{6}$$
$$x_1=-1,\quad x_2=\frac{5}{3}$$
Так как ветви параболы направлены вверх, то
$$-1<x<\frac{5}{3}$$
в) $$f(x)=\frac{x^3}{3x+1}$$
$$f'(x)=\frac{3x^2(3x+1)-x^3\cdot 3}{(3x+1)^2}$$
$$f'(x)=\frac{6x^3+3x^2}{(3x+1)^2}=\frac{3x^2(2x+1)}{(3x+1)^2}$$
Так как $$\left(3x+1\right)^2>0$$ при $$x\neq -\frac13$$, то нужно решить:
$$3x^2(2x+1)<0$$
Поскольку $$3x^2\ge 0$$, неравенство выполняется при
$$2x+1<0$$
$$x<-\frac12$$
С учётом области определения $$x\neq -\frac13$$, получаем:
$$(-\infty;-\tfrac12)$$
г) $$f(x)=20x-0{,}5x^2-\frac13x^3$$
$$f'(x)=20-x-\;x^2$$
Решим неравенство:
$$20-x-x^2<0$$
$$x^2+x-20>0$$
$$\left(x+5\right)\left(x-4\right)>0$$
Отсюда:
$$x<-5 \quad \text{или} \quad x>4$$
д) $$f(x)=\left(x^2-7\right)\left(x-2\right)$$
$$f'(x)=2x(x-2)+\left(x^2-7\right)$$
$$f'(x)=3x^2-4x-7$$
Решим неравенство:
$$3x^2-4x-7<0$$
$$D=(-4)^2-4\cdot 3\cdot(-7)=100$$
$$x_{1,2}=\frac{4\pm 10}{6}$$
$$x_1=-1,\quad x_2=\frac73$$
Так как ветви параболы направлены вверх, то
$$-1<x<\frac73$$
е) $$f(x)=\frac{2x-1}{2x^3}$$
Область определения: $$x\neq 0$$.
$$f'(x)=\frac{2\cdot 2x^3-(2x-1)\cdot 6x^2}{4x^6}$$
$$f'(x)=\frac{4x^3-12x^3+6x^2}{4x^6}=\frac{2x^2(3-4x)}{4x^6}$$
Так как знаменатель положителен при $$x\neq 0$$, получаем:
$$3-4x<0$$
$$x>\frac34$$