Упр.10.23 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) f(x)=x^2-x^3; г) f(x)=(1/3)x^3+3x^2;
б) f(x)=(x^2+5)/(3x-2); д) f(x)=(x^2+12)/(2x+1);
в) f(x)=vx(x^2-8x); е) f(x)=vx(6x-x^2).

1. а) $$f(x)=x^2-x^3$$

   $$f'(x)=2x-3x^2$$

   $$2x-3x^2>0$$

   $$x(2-3x)>0$$

   Отсюда

   $$0<x<\frac{2}{3}$$

2. б) $$f(x)=\frac{x^2+5}{3x-2}$$

   $$f'(x)=\frac{2x(3x-2)-3(x^2+5)}{(3x-2)^2}$$

   $$\frac{6x^2-4x-3x^2-15}{(3x-2)^2}>0$$

   $$3x^2-4x-15>0$$

   $$D=16+180=196$$

   $$x_1=\frac{4-14}{6}=-\frac{5}{3}, \qquad x_2=\frac{4+14}{6}=3$$

   Тогда

   $$\left(x+\frac{5}{3}\right)(x-3)>0$$

   $$x<-\frac{5}{3}, \qquad x>3$$

   С учётом области определения $$x\neq \frac{2}{3}$$ получаем

   $$(-\infty;-\frac{5}{3})\cup(3;+\infty)$$

3. в) $$f(x)=\sqrt{x}(x^2-8x)$$

   Область определения: $$x\ge 0$$.

   $$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}(x^2-8x)+\sqrt{x}(2x-8)$$

   $$\frac{1}{2\sqrt{x}}(x^2-8x)+\frac{2x-8}{1}\sqrt{x}>0$$

   После приведения к общему виду:

   $$5x-24>0$$

   $$x>\frac{24}{5}$$

4. г) $$f(x)=\frac{1}{3}x^3+3x^2$$

   $$f'(x)=x^2+6x$$

   $$x(x+6)>0$$

   Отсюда

   $$x<-6 \qquad \text{или} \qquad x>0$$

5. д) $$f(x)=\frac{x^2+12}{2x+1}$$

   $$f'(x)=\frac{2x(2x+1)-2(x^2+12)}{(2x+1)^2}$$

   $$\frac{4x^2+2x-2x^2-24}{(2x+1)^2}>0$$

   $$2x^2+2x-24>0$$

   $$x^2+x-12>0$$

   $$D=1+48=49$$

   $$x_1=-4,\qquad x_2=3$$

   $$ (x+4)(x-3)>0 $$

   $$x<-4 \qquad \text{или} \qquad x>3$$

   С учётом области определения $$x\neq -\frac{1}{2}$$ получаем

   $$(-\infty;-4)\cup(3;+\infty)$$

6. е) $$f(x)=\sqrt{x}(6x-x^2)$$

   Область определения: $$x\ge 0$$.

   $$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}(6x-x^2)+\sqrt{x}(6-2x)$$

   После упрощения получаем

   $$18-5x>0$$

   $$x<\frac{18}{5}$$

   С учётом области определения:

   $$0<x<\frac{18}{5}$$

Ответ

а) $$\left(0;\frac{2}{3}\right)$$;
б) $$(-\infty;-\frac{5}{3})\cup(3;+\infty)$$;
в) $$\left(\frac{24}{5};+\infty\right)$$;
г) $$(-\infty;-6)\cup(0;+\infty)$$;
д) $$(-\infty;-4)\cup(3;+\infty)$$;
е) $$\left(0;\frac{18}{5}\right)$$.