Упр.10.22 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) Для функции $$y=\frac{3x-1}{x+8}$$ найдём производную:

$$y'(x)=\frac{3(x+8)-(3x-1)}{(x+8)^2} =\frac{3x+24-3x+1}{(x+8)^2} =\frac{25}{(x+8)^2}.$$

Так как касательная образует с осью $$Ox$$ угол $$45^\circ$$, то её угловой коэффициент равен

$$k=\tan 45^\circ=1.$$

Тогда

$$\frac{25}{(x+8)^2}=1,\qquad (x+8)^2=25.$$

Отсюда

$$x+8=5 \Rightarrow x=-3,\qquad x+8=-5 \Rightarrow x=-13.$$

Найдём точки касания:

$$y(-3)=\frac{3\cdot(-3)-1}{-3+8}=\frac{-10}{5}=-2,$$

$$y(-13)=\frac{3\cdot(-13)-1}{-13+8}=\frac{-40}{-5}=8.$$

Уравнения касательных:

$$y+2=1(x+3)\Rightarrow y=x+1,$$

$$y-8=1(x+13)\Rightarrow y=x+21.$$

Точки пересечения с осью ординат найдём при $$x=0$$:

$$y=1,\qquad y=21.$$

б) Для функции $$y=\frac{2x-2}{x+1}$$ найдём производную:

$$y'(x)=\frac{2(x+1)-(2x-2)}{(x+1)^2} =\frac{2x+2-2x+2}{(x+1)^2} =\frac{4}{(x+1)^2}.$$

По условию угловой коэффициент касательной равен $$4$$, значит

$$\frac{4}{(x+1)^2}=4,\qquad (x+1)^2=1.$$

Отсюда

$$x+1=1 \Rightarrow x=0,\qquad x+1=-1 \Rightarrow x=-2.$$

Найдём точки касания:

$$y(0)=\frac{2\cdot 0-2}{0+1}=-2,$$

$$y(-2)=\frac{2\cdot(-2)-2}{-2+1}=6.$$

Уравнения касательных:

$$y+2=4(x-0)\Rightarrow y=4x-2,$$

$$y-6=4(x+2)\Rightarrow y=4x+14.$$

Точки пересечения с осью абсцисс найдём при $$y=0$$:

$$4x-2=0 \Rightarrow x=\frac12,$$

$$4x+14=0 \Rightarrow x=-\frac72.$$

в) Для функции $$y=x^3-3x^2+x+1$$ и угла $$45^\circ$$ имеем

$$k=\tan 45^\circ=1.$$

Найдём производную:

$$y'(x)=3x^2-6x+1.$$

Приравняем к 1:

$$3x^2-6x+1=1,$$

$$3x^2-6x=0,$$

$$3x(x-2)=0.$$

Следовательно, $$x=0$$ или $$x=2$$.

Найдём точки касания:

$$y(0)=1,\qquad y(2)=8-12+2+1=-1.$$

Уравнения касательных:

$$y-1=1(x-0)\Rightarrow y=x+1,$$

$$y+1=1(x-2)\Rightarrow y=x-3.$$

Ответ

а) $$(0;1),\ (0;21)$$

б) $$\left(\frac12;0\right),\ \left(-\frac72;0\right)$$

в) $$y=x+1,\ y=x-3$$