Упр.10.22 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
б) Найдите точки пересечения с осью абсцисс тех касательных к графику функции y = (2x — 2) / (x + 1), у которых угловой коэффициент равен 4. Составьте уравнение каждой из тех касательных к графику функции y=x^3-3x^2+x+1, для которых угол между касательной и осью Ох равен 45°.
а) Для функции $$y=\frac{3x-1}{x+8}$$ найдём производную:
$$ y'(x)=\frac{3(x+8)-(3x-1)}{(x+8)^2} =\frac{3x+24-3x+1}{(x+8)^2} =\frac{25}{(x+8)^2}. $$
Так как касательная образует с осью $$Ox$$ угол $$45^\circ$$, то её угловой коэффициент равен
$$k=\tan 45^\circ=1.$$
Тогда
$$ \frac{25}{(x+8)^2}=1,\qquad (x+8)^2=25. $$
Отсюда
$$x+8=5 \Rightarrow x=-3,\qquad x+8=-5 \Rightarrow x=-13.$$
Найдём точки касания:
$$ y(-3)=\frac{3\cdot(-3)-1}{-3+8}=\frac{-10}{5}=-2, $$
$$ y(-13)=\frac{3\cdot(-13)-1}{-13+8}=\frac{-40}{-5}=8. $$
Уравнения касательных:
$$ y+2=1(x+3)\Rightarrow y=x+1, $$
$$ y-8=1(x+13)\Rightarrow y=x+21. $$
Точки пересечения с осью ординат найдём при $$x=0$$:
$$y=1,\qquad y=21.$$
б) Для функции $$y=\frac{2x-2}{x+1}$$ найдём производную:
$$ y'(x)=\frac{2(x+1)-(2x-2)}{(x+1)^2} =\frac{2x+2-2x+2}{(x+1)^2} =\frac{4}{(x+1)^2}. $$
По условию угловой коэффициент касательной равен $$4$$, значит
$$ \frac{4}{(x+1)^2}=4,\qquad (x+1)^2=1. $$
Отсюда
$$x+1=1 \Rightarrow x=0,\qquad x+1=-1 \Rightarrow x=-2.$$
Найдём точки касания:
$$ y(0)=\frac{2\cdot 0-2}{0+1}=-2, $$
$$ y(-2)=\frac{2\cdot(-2)-2}{-2+1}=6. $$
Уравнения касательных:
$$ y+2=4(x-0)\Rightarrow y=4x-2, $$
$$ y-6=4(x+2)\Rightarrow y=4x+14. $$
Точки пересечения с осью абсцисс найдём при $$y=0$$:
$$ 4x-2=0 \Rightarrow x=\frac12, $$
$$ 4x+14=0 \Rightarrow x=-\frac72. $$
в) Для функции $$y=x^3-3x^2+x+1$$ и угла $$45^\circ$$ имеем
$$k=\tan 45^\circ=1.$$
Найдём производную:
$$ y'(x)=3x^2-6x+1. $$
Приравняем к 1:
$$ 3x^2-6x+1=1, $$
$$ 3x^2-6x=0, $$
$$ 3x(x-2)=0. $$
Следовательно, $$x=0$$ или $$x=2$$.
Найдём точки касания:
$$ y(0)=1,\qquad y(2)=8-12+2+1=-1. $$
Уравнения касательных:
$$ y-1=1(x-0)\Rightarrow y=x+1, $$
$$ y+1=1(x-2)\Rightarrow y=x-3. $$
Ответ
а) $$ (0;1),\ (0;21) $$
б) $$ \left(\frac12;0\right),\ \left(-\frac72;0\right) $$
в) $$ y=x+1,\ y=x-3 $$
