Упр.10.20 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. Составьте уравнение той касательной к графику функции $$y=g(x)$$, которая параллельна указанной прямой:
   а) $$g(x)=\frac{1}{3}x^3-2$$, $$y=9x-1$$;
   б) $$g(x)=-x^3+3x^2-6x$$, $$y=2-x$$;
   в) $$g(x)=\frac{x^2-4x+3}{x-2}$$, $$y=2x+1$$;
   г) $$g(x)=-x^3+4$$, $$y=5-12x$$;
   д) $$g(x)=\frac{x^3}{3}-3x^2+10x-2$$, $$y=x$$;
   е) $$g(x)=\frac{x^2+3x-4}{x+1}$$, $$y=7x+3$$.

1. а) $$g(x)=\frac13x^3-2,\quad y=9x-1.$$

   У касательной угловой коэффициент равен коэффициенту прямой, то есть $$k=9.$$ Тогда

   $$g'(x)=x^2,\quad x^2=9,\quad x=\pm 3.$$

   $$g(-3)=\frac13\cdot(-27)-2=-11,\qquad g(3)=\frac13\cdot27-2=7.$$

   Уравнения касательных:

   $$y+11=9(x+3),\quad y=9x+16,$$

   $$y-7=9(x-3),\quad y=9x-20.$$

2. б) $$g(x)=-x^3+3x^2-6x,\quad y=2-x.$$

   Здесь $$k=-1.$$

   $$g'(x)=-3x^2+6x-6.$$

   Решаем уравнение

   $$-3x^2+6x-6=-1,$$

   или

   $$3x^2-6x+5=0.$$

   Дискриминант:

   $$D=(-6)^2-4\cdot3\cdot5=36-60=-24<0.$$

   Следовательно, касательных, параллельных данной прямой, нет.

3. в) $$g(x)=\frac{x^2-4x+3}{x-2},\quad y=2x+1.$$

   Здесь $$k=2.$$ Найдём производную:

   $$g'(x)=\frac{(2x-4)(x-2)-(x^2-4x+3)}{(x-2)^2}.$$

   Приравниваем к 2:

   $$\frac{(2x-4)(x-2)-(x^2-4x+3)}{(x-2)^2}=2.$$

   После преобразований получаем:

   $$x^2-4x+3=0,$$

   откуда

   $$x_1=1,\quad x_2=3.$$

   Найдём точки касания:

   $$g(1)=0,\qquad g(3)=0.$$

   Уравнения касательных:

   $$y=2(x-1)=2x-2,$$

   $$y=2(x-3)=2x-6.$$

4. г) $$g(x)=-x^3+4,\quad y=5-12x.$$

   Здесь $$k=-12.$$

   $$g'(x)=-3x^2.$$

   Решаем:

   $$-3x^2=-12,\quad x^2=4,\quad x=\pm2.$$

   $$g(-2)=12,\qquad g(2)=-4.$$

   Уравнения касательных:

   $$y-12=-12(x+2),\quad y=-12x-12,$$

   $$y+4=-12(x-2),\quad y=-12x+20.$$

5. д) $$g(x)=\frac{x^3}{3}-3x^2+10x-2,\quad y=x.$$

   Здесь $$k=1.$$

   $$g'(x)=x^2-6x+10.$$

   Приравниваем к 1:

   $$x^2-6x+10=1,$$

   $$x^2-6x+9=0,$$

   $$\left(x-3\right)^2=0,\quad x=3.$$

   $$g(3)=\frac{27}{3}-27+30-2=10.$$

   Уравнение касательной:

   $$y-10=1(x-3),\quad y=x+7.$$

6. е) $$g(x)=\frac{x^2+3x-4}{x+1},\quad y=7x+3.$$

   Здесь $$k=7.$$

   $$g'(x)=\frac{(2x+3)(x+1)-(x^2+3x-4)}{(x+1)^2}.$$

   Приравниваем к 7:

   $$\frac{(2x+3)(x+1)-(x^2+3x-4)}{(x+1)^2}=7.$$

   После преобразований:

   $$6x(x+2)=0,$$

   откуда

   $$x_1=-2,\quad x_2=0.$$

   Найдём точки касания:

   $$g(-2)=6,\qquad g(0)=-4.$$

   Уравнения касательных:

   $$y-6=7(x+2),\quad y=7x+20,$$

   $$y+4=7x,\quad y=7x-4.$$

Ответ

а) $$y=9x+16,$$ $$y=9x-20.$$

б) Касательных, параллельных данной прямой, нет.

в) $$y=2x-2,$$ $$y=2x-6.$$

г) $$y=-12x-12,$$ $$y=-12x+20.$$

д) $$y=x+7.$$

е) $$y=7x+20,$$ $$y=7x-4.$$