Упр.10.20 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

а) g(x)=(1/3)x^3-2, y=9x-1;
б) g(x)=-x^3+3x^2-6x, y=2-x;
в) g(x)=(x^2-4x+3)/(x-2), y=2x+1;
г) g(x)=-x^3+4, y=5-12x;
д) g(x)=x^3/3-3x^2+10x-2, y=x;
е) g(x)=(x^2+3x-4)/(x+1), y=7x+3.

Подробный ответ

а) $$g(x)=\frac13x^3-2,\quad y=9x-1.$$
У касательной угловой коэффициент равен коэффициенту прямой, то есть $$k=9.$$ Тогда
$$g'(x)=x^2,\quad x^2=9,\quad x=\pm 3.$$
$$g(-3)=\frac13\cdot(-27)-2=-11,\qquad g(3)=\frac13\cdot27-2=7.$$
Уравнения касательных:
$$y+11=9(x+3),\quad y=9x+16,$$
$$y-7=9(x-3),\quad y=9x-20.$$
б) $$g(x)=-x^3+3x^2-6x,\quad y=2-x.$$
Здесь $$k=-1.$$
$$g'(x)=-3x^2+6x-6.$$
Решаем уравнение
$$-3x^2+6x-6=-1,$$
или
$$3x^2-6x+5=0.$$
Дискриминант:
$$D=(-6)^2-4\cdot3\cdot5=36-60=-24<0.$$
Следовательно, касательных, параллельных данной прямой, нет.
в) $$g(x)=\frac{x^2-4x+3}{x-2},\quad y=2x+1.$$
Здесь $$k=2.$$ Найдём производную:
$$g'(x)=\frac{(2x-4)(x-2)-(x^2-4x+3)}{(x-2)^2}.$$
Приравниваем к 2:
$$\frac{(2x-4)(x-2)-(x^2-4x+3)}{(x-2)^2}=2.$$
После преобразований получаем:
$$x^2-4x+3=0,$$
откуда
$$x_1=1,\quad x_2=3.$$
Найдём точки касания:
$$g(1)=0,\qquad g(3)=0.$$
Уравнения касательных:
$$y=2(x-1)=2x-2,$$
$$y=2(x-3)=2x-6.$$
г) $$g(x)=-x^3+4,\quad y=5-12x.$$
Здесь $$k=-12.$$
$$g'(x)=-3x^2.$$
Решаем:
$$-3x^2=-12,\quad x^2=4,\quad x=\pm2.$$
$$g(-2)=12,\qquad g(2)=-4.$$
Уравнения касательных:
$$y-12=-12(x+2),\quad y=-12x-12,$$
$$y+4=-12(x-2),\quad y=-12x+20.$$
д) $$g(x)=\frac{x^3}{3}-3x^2+10x-2,\quad y=x.$$
Здесь $$k=1.$$
$$g'(x)=x^2-6x+10.$$
Приравниваем к 1:
$$x^2-6x+10=1,$$
$$x^2-6x+9=0,$$
$$\left(x-3\right)^2=0,\quad x=3.$$
$$g(3)=\frac{27}{3}-27+30-2=10.$$
Уравнение касательной:
$$y-10=1(x-3),\quad y=x+7.$$
е) $$g(x)=\frac{x^2+3x-4}{x+1},\quad y=7x+3.$$
Здесь $$k=7.$$
$$g'(x)=\frac{(2x+3)(x+1)-(x^2+3x-4)}{(x+1)^2}.$$
Приравниваем к 7:
$$\frac{(2x+3)(x+1)-(x^2+3x-4)}{(x+1)^2}=7.$$
После преобразований:
$$6x(x+2)=0,$$
откуда
$$x_1=-2,\quad x_2=0.$$
Найдём точки касания:
$$g(-2)=6,\qquad g(0)=-4.$$
Уравнения касательных:
$$y-6=7(x+2),\quad y=7x+20,$$
$$y+4=7x,\quad y=7x-4.$$