Дополнительная задача 10 Глава 1 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. График какой функции окажется выше графика другой функции «на $$+\infty$$», т. е. при всех достаточно больших значениях $$x$$:
   а) $$f(x)=2x-1$$ или $$g(x)=x+10$$;
   б) $$f(x)=x^2-100$$ или $$g(x)=x+100$$;
   в) $$f(x)=3x^3+2x^2+x$$ или $$g(x)=4x^4$$;
   г) $$f(x)=2x^5-5x^4-7$$ или $$g(x)=x^5+3x^2$$;
   д) $$f(x)=5\cos(5x)$$ или $$g(x)=x-50$$;
   е) $$f(x)=2^x$$ или $$g(x)=x^{20}$$?

1. а) Сравним старшие члены функций: у $$f(x)=2x-1$$ и $$g(x)=x+10$$ старшие члены $$2x$$ и $$x$$. При $$x \to +\infty$$

   $$\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{2x-1}{x+10}=\frac{2-\frac{1}{x}}{1+\frac{10}{x}}\to 2.$$

   Значит, выше будет график $$f(x)$$.

2. б) Для $$f(x)=x^2-100$$ и $$g(x)=x+100$$

   $$\frac{g(x)}{f(x)}=\frac{x+100}{x^2-100}=\frac{\frac{1}{x}+\frac{100}{x^2}}{1-\frac{100}{x^2}}\to 0.$$

   Следовательно, при больших $$x$$ выше график $$f(x)$$.

3. в) У функций $$f(x)=3x^3+2x^2+x$$ и $$g(x)=4x^4$$ старшие степени: $$x^3$$ и $$x^4$$. Так как степень у $$g(x)$$ больше, то при $$x \to +\infty$$

   $$\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{3x^3+2x^2+x}{4x^4}=\frac{\frac{3}{x}+\frac{2}{x^2}+\frac{1}{x^3}}{4}\to 0.$$

   Значит, выше график $$g(x)$$.

4. г) Для $$f(x)=2x^5-5x^4-7$$ и $$g(x)=x^5+3x^2$$

   $$\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{2x^5-5x^4-7}{x^5+3x^2}=\frac{2-\frac{5}{x}-\frac{7}{x^5}}{1+\frac{3}{x^3}}\to 2.$$

   Следовательно, выше график $$f(x)$$.

5. д) Функция $$f(x)=5\cos 5x$$ ограничена, а $$g(x)=x-50$$ при $$x \to +\infty$$ неограниченно возрастает. Поэтому

   $$\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{5\cos 5x}{x-50}\to 0.$$

   Значит, выше график $$g(x)$$.

6. е) Сравним рост функций $$f(x)=2^x$$ и $$g(x)=x^{20}$$. Для экспоненты

   $$\frac{f(x+1)}{f(x)}=\frac{2^{x+1}}{2^x}=2,$$

   а для многочлена

   $$\frac{g(x+1)}{g(x)}=\frac{(x+1)^{20}}{x^{20}}\to 1.$$

   Экспоненциальная функция растёт быстрее любого многочлена, значит, выше график $$f(x)$$.

Ответ

а) $$f(x)$$; б) $$f(x)$$; в) $$g(x)$$; г) $$f(x)$$; д) $$g(x)$$; е) $$f(x)$$.