Упр.10.19 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

Составьте уравнение касательной к графику функции $$y=f(x)$$, проходящей через точку с абсциссой $$a$$:
а) $$f(x)=x^3-6x^2,\ a=2$$;
г) $$f(x)=3x^3-5x^2-2,\ a=2$$;
б) $$f(x)=\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2},\ a=1$$;
д) $$f(x)=x^3-3\sqrt{x},\ a=1$$;
в) $$f(x)=\frac{12}{\sqrt{x}}-x,\ a=9$$;
е) $$f(x)=\frac{1}{x^3}+6\sqrt{x},\ a=1$$.

Подробный ответ

а) $$f(x)=x^3-6x^2,\quad a=2.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=3x^2-12x.$$
Вычислим значение функции и производной в точке $$x=2$$:
$$f(2)=2^3-6\cdot 2^2=8-24=-16,$$
$$f'(2)=3\cdot 2^2-12\cdot 2=12-24=-12.$$
Уравнение касательной:
$$y=-16-12(x-2)=8-12x.$$
б) $$f(x)=\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2},\quad a=1.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=-\frac{1}{x^2}-\frac{2}{x^3}.$$
Вычислим значение функции и производной в точке $$x=1$$:
$$f(1)=1+1=2,$$
$$f'(1)=-1-2=-3.$$
Уравнение касательной:
$$y=2-3(x-1)=5-3x.$$
в) $$f(x)=\frac{12}{\sqrt{x}}-x,\quad a=9.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=12\cdot\left(x^{-1/2}\right)’-1=-\frac{6}{x\sqrt{x}}-1.$$
Вычислим значение функции и производной в точке $$x=9$$:
$$f(9)=\frac{12}{3}-9=4-9=-5,$$
$$f'(9)=-\frac{6}{9\cdot 3}-1=-\frac{2}{9}-1=-\frac{11}{9}.$$
Уравнение касательной:
$$y=-5-\frac{11}{9}(x-9)=4-\frac{11}{9}x.$$
г) $$f(x)=3x^3-5x^2-2,\quad a=2.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=9x^2-10x.$$
Вычислим значение функции и производной в точке $$x=2$$:
$$f(2)=3\cdot 2^3-5\cdot 2^2-2=24-20-2=2,$$
$$f'(2)=9\cdot 2^2-10\cdot 2=36-20=16.$$
Уравнение касательной:
$$y=2+16(x-2)=16x-30.$$
д) $$f(x)=x^3-3\sqrt{x},\quad a=1.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=3x^2-\frac{3}{2\sqrt{x}}.$$
Вычислим значение функции и производной в точке $$x=1$$:
$$f(1)=1-3=-2,$$
$$f'(1)=3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}.$$
Уравнение касательной:
$$y=-2+\frac{3}{2}(x-1)=\frac{3}{2}x-\frac{7}{2}.$$
е) $$f(x)=\frac{1}{x^3}+6\sqrt{x},\quad a=1.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=-\frac{3}{x^4}+\frac{3}{\sqrt{x}}.$$
Вычислим значение функции и производной в точке $$x=1$$:
$$f(1)=1+6=7,$$
$$f'(1)=-3+3=0.$$
Уравнение касательной:
$$y=7+0\cdot(x-1)=7.$$