Упр.10.18 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

Найдите абсциссы точек, в которых угловой коэффициент касательной к графику данной функции равен $$k$$:
а) $$y=x^2-3x+9,\ k=1$$;
б) $$y=x^3-3x^2-9x+1,\ k=0$$;
в) $$y=\frac{1}{x^3}-\frac{2}{x}-3,\ k=-1$$;
г) $$y=x^2+4x-7,\ k=2$$;
д) $$y=x^3-6x^2+12x-3,\ k=3$$;
е) $$y=\frac{1}{x^3}+\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x},\ k=0$$.

Подробный ответ

Угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой $$x$$ равен значению производной $$f'(x)$$ в этой точке. Поэтому для каждого пункта решаем уравнение $$f'(x)=k$$.

$$y=x^2-3x+9,\quad k=1$$
$$f'(x)=2x-3$$
$$2x-3=1$$
$$2x=4,\quad x=2$$
$$y=x^3-3x^2-9x+1,\quad k=0$$
$$f'(x)=3x^2-6x-9$$
$$3x^2-6x-9=0$$
$$x^2-2x-3=0$$
$$x_1=-1,\quad x_2=3$$
$$y=\frac{1}{x^3}-\frac{2}{x}-3,\quad k=-1$$
$$f'(x)=-\frac{3}{x^4}+\frac{2}{x^2}$$
$$-\frac{3}{x^4}+\frac{2}{x^2}=-1$$
$$x^4+2x^2-3=0$$
Положим $$t=x^2$$. Тогда
$$t^2+2t-3=0$$
$$t_1=1,\quad t_2=-3$$
Так как $$x^2\ge 0$$, берём только $$t=1$$:
$$x^2=1,\quad x=\pm 1$$
$$y=x^2+4x-7,\quad k=2$$
$$f'(x)=2x+4$$
$$2x+4=2$$
$$2x=-2,\quad x=-1$$
$$y=x^3-6x^2+12x-3,\quad k=3$$
$$f'(x)=3x^2-12x+12$$
$$3x^2-12x+12=3$$
$$3x^2-12x+9=0$$
$$x^2-4x+3=0$$
$$x_1=1,\quad x_2=3$$
$$y=\frac{1}{x^3}+\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x},\quad k=0$$
$$f'(x)=-\frac{3}{x^4}-\frac{2}{x^3}+\frac{1}{x^2}$$
$$-\frac{3}{x^4}-\frac{2}{x^3}+\frac{1}{x^2}=0$$
Умножим на $$x^4$$:
$$-3-2x+x^2=0$$
$$x^2-2x-3=0$$
$$x_1=-1,\quad x_2=3$$