Упр.10.17 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
- Решите уравнение $$f'(x)=0$$, если:
а) $$f(x)=-x^3+2x^2-1$$;
г) $$f(x)=x^3-12x+9$$;
б) $$f(x)=x^3-5x^2+3x$$;
д) $$f(x)=-x^3+2x^2+4x-3$$;
в) $$y=\frac{x^2+3x}{2x-3}$$;
е) $$y=\frac{0{,}5x^2-4x}{x+4}$$.
а) $$f(x)=-x^3+2x^2-1$$
$$f'(x)=-3x^2+4x$$
Решим уравнение $$f'(x)=0$$:
$$-3x^2+4x=0$$
$$x(4-3x)=0$$
$$x_1=0,\quad x_2=\frac{4}{3}$$
б) $$f(x)=x^3-5x^2+3x$$
$$f'(x)=3x^2-10x+3$$
$$3x^2-10x+3=0$$
$$D=(-10)^2-4\cdot 3\cdot 3=100-36=64$$
$$x=\frac{10\pm 8}{2\cdot 3}$$
$$x_1=\frac{1}{3},\quad x_2=3$$
в) $$y=\frac{x^2+3x}{2x-3}$$
Область определения: $$x\ne \frac{3}{2}$$.
$$y’=\frac{(2x+3)(2x-3)-2(x^2+3x)}{(2x-3)^2}$$
$$y’=\frac{4x^2-6x+6x-9-2x^2-6x}{(2x-3)^2}=\frac{2x^2-6x-9}{(2x-3)^2}$$
Решим уравнение $$y’=0$$:
$$2x^2-6x-9=0$$
$$D=(-6)^2-4\cdot 2\cdot(-9)=36+72=108$$
$$x=\frac{6\pm \sqrt{108}}{4}=\frac{6\pm 6\sqrt{3}}{4}=\frac{3\pm 3\sqrt{3}}{2}$$
г) $$f(x)=x^3-12x+9$$
$$f'(x)=3x^2-12$$
$$3x^2-12=0$$
$$x^2=4$$
$$x=\pm 2$$
д) $$f(x)=-x^3+2x^2+4x-3$$
$$f'(x)=-3x^2+4x+4$$
$$-3x^2+4x+4=0$$
$$3x^2-4x-4=0$$
$$D=(-4)^2-4\cdot 3\cdot(-4)=16+48=64$$
$$x=\frac{4\pm 8}{6}$$
$$x_1=-\frac{2}{3},\quad x_2=2$$
е) $$y=\frac{0{,}5x^2-4x}{x+4}$$
Область определения: $$x\ne -4$$.
$$y’=\frac{(x-4)(x+4)-(0{,}5x^2-4x)}{(x+4)^2}$$
$$y’=\frac{x^2-16-0{,}5x^2+4x}{(x+4)^2}=\frac{0{,}5x^2+4x-16}{(x+4)^2}$$
Решим уравнение $$y’=0$$:
$$0{,}5x^2+4x-16=0$$
$$x^2+8x-32=0$$
$$D=8^2-4\cdot 1\cdot(-32)=64+128=192$$
$$x=\frac{-8\pm \sqrt{192}}{2}=\frac{-8\pm 8\sqrt{3}}{2}=-4\pm 4\sqrt{3}$$
Ответ
а) $$0,\ \frac{4}{3}$$; б) $$\frac{1}{3},\ 3$$; в) $$\frac{3-3\sqrt{3}}{2},\ \frac{3+3\sqrt{3}}{2}$$; г) $$-2,\ 2$$; д) $$-\frac{2}{3},\ 2$$; е) $$-4-4\sqrt{3},\ -4+4\sqrt{3}$$.
