Упр.10.15 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) y=vx(x+1), a=3; г) y=2vx(x-2), a=4;
б) y=(4x+1)/(2x-3), a=-2; д) y=(6x-5)/(3x+2), a=1/3;
в) y=1/x^2+3/x, a=-1; е) y=1/x^3-1/x^2-1/x, a=1.

1. а) $$y=\sqrt{x}(x+1), \quad a=3.$$

   Найдём производную:

   $$ y'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}(x+1)+\sqrt{x}. $$

   Подставим $$x=3$$:

   $$ y'(3)=\frac{3+1}{2\sqrt{3}}+\sqrt{3} =\frac{2}{\sqrt{3}}+\frac{3}{\sqrt{3}} =\frac{5}{\sqrt{3}}. $$

2. б) $$y=\frac{4x+1}{2x-3}, \quad a=-2.$$

   По формуле производной частного:

   $$ y'(x)=\frac{4(2x-3)-(4x+1)\cdot 2}{(2x-3)^2}. $$

   Подставим $$x=-2$$:

   $$ y'(-2)=\frac{4(-4-3)-(-8+1)\cdot 2}{(-4-3)^2} =\frac{-28+14}{49} =-\frac{2}{7}. $$

3. в) $$y=\frac{1}{x^2}+\frac{3}{x}, \quad a=-1.$$

   Найдём производную:

   $$ y'(x)=-\frac{2}{x^3}-\frac{3}{x^2}. $$

   Подставим $$x=-1$$:

   $$ y'(-1)=2-3=-1. $$

4. г) $$y=2\sqrt{x}(x-2), \quad a=4.$$

   Найдём производную:

   $$ y'(x)=\frac{2}{2\sqrt{x}}(x-2)+2\sqrt{x}. $$

   Подставим $$x=4$$:

   $$ y'(4)=\frac{1}{2}(4-2)+2\cdot 2=1+4=5. $$

5. д) $$y=\frac{6x-5}{3x+2}, \quad a=\frac{1}{3}.$$

   По формуле производной частного:

   $$ y'(x)=\frac{6(3x+2)-(6x-5)\cdot 3}{(3x+2)^2}. $$

   Подставим $$x=\frac{1}{3}$$:

   $$ y’\!\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{6(1+2)-(2-5)\cdot 3}{(1+2)^2} =\frac{18+9}{9} =3. $$

6. е) $$y=\frac{1}{x^3}-\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x}, \quad a=1.$$

   Найдём производную:

   $$ y'(x)=-\frac{3}{x^4}+\frac{2}{x^3}+\frac{1}{x^2}. $$

   Подставим $$x=1$$:

   $$ y'(1)=-3+2+1=0. $$

Ответ

а) $$\frac{5}{\sqrt{3}}$$; б) $$-\frac{2}{7}$$; в) $$-1$$; г) $$5$$; д) $$3$$; е) $$0$$.