Упр.10.11 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

а) y=x^3-3x+5, x_0=-1;
б) y=(x^2-2)(2x^3+1), x_0=-2;
в) y=(x^3+1)/vx, x_0=4;
г) y=x^3-6x^2+7, x_0=2;
д) y=(4x^2+3)(x^3-1), x_0=1;
е) y=2vx/(0,5x^2-2), x_0=1.

Подробный ответ

$$y=x^3-3x+5$$
Найдём производную:
$$y'(x)=3x^2-3$$
Подставим $$x_0=-1$$:
$$y'(-1)=3\cdot(-1)^2-3=3-3=0$$
$$y=(x^2-2)(2x^3+1)$$
По правилу произведения:
$$y'(x)=2x(2x^3+1)+(x^2-2)\cdot 6x^2$$
Подставим $$x_0=-2$$:
$$y'(-2)=2\cdot(-2)\bigl(2\cdot(-2)^3+1\bigr)+\bigl((-2)^2-2\bigr)\cdot 6\cdot(-2)^2$$
$$y'(-2)=-4(-16+1)+(4-2)\cdot 24=60+48=108$$
$$y=\frac{x^3+1}{\sqrt{x}}$$
Представим функцию как произведение:
$$y=(x^3+1)x^{-1/2}$$
Тогда
$$y'(x)=3x^2\cdot x^{-1/2}+(x^3+1)\cdot\left(-\frac12\right)x^{-3/2}$$
Упростим:
$$y'(x)=\frac{3x^2\sqrt{x}-\frac{x^3+1}{2\sqrt{x}}}{x}$$
Подставим $$x_0=4$$:
$$y'(4)=\frac{3\cdot 16\cdot 2-\frac{64+1}{2\cdot 2}}{4}=\frac{384-65}{16}=\frac{319}{16}$$
$$y=x^3-6x^2+7$$
$$y'(x)=3x^2-12x$$
$$y'(2)=3\cdot 2^2-12\cdot 2=12-24=-12$$
$$y=(4x^2+3)(x^3-1)$$
По правилу произведения:
$$y'(x)=8x(x^3-1)+(4x^2+3)\cdot 3x^2$$
Подставим $$x_0=1$$:
$$y'(1)=8\cdot 1\cdot(1-1)+(4\cdot 1^2+3)\cdot 3\cdot 1^2=0+7\cdot 3=21$$
$$y=\frac{2\sqrt{x}}{0{,}5x^2-2}$$
По правилу производной частного:
$$y'(x)=\frac{\frac{1}{\sqrt{x}}(0{,}5x^2-2)-2\sqrt{x}\cdot x}{(0{,}5x^2-2)^2}$$
Подставим $$x_0=1$$:
$$y'(1)=\frac{1\cdot(0{,}5-2)-2\cdot 1\cdot 1}{(0{,}5-2)^2}=\frac{-1{,}5-2}{(-1{,}5)^2}=\frac{-3{,}5}{2{,}25}=-\frac{14}{9}$$