Упр.10.11 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Найдите значение производной заданной функции в точке $$x_0$$, если:

а) $$y=x^3-3x+5$$, $$x_0=-1$$;

б) $$y=(x^2-2)(2x^3+1)$$, $$x_0=-2$$;

в) $$y=\frac{x^3+1}{\sqrt{x}}$$, $$x_0=4$$;

г) $$y=x^3-6x^2+7$$, $$x_0=2$$;

д) $$y=(4x^2+3)(x^3-1)$$, $$x_0=1$$;

е) $$y=\frac{2\sqrt{x}}{0{,}5x^2-2}$$, $$x_0=1$$.

1. $$y=x^3-3x+5$$

   Найдём производную:

   $$y'(x)=3x^2-3$$

   Подставим $$x_0=-1$$:

   $$y'(-1)=3\cdot(-1)^2-3=3-3=0$$

2. $$y=(x^2-2)(2x^3+1)$$

   По правилу произведения:

   $$y'(x)=2x(2x^3+1)+(x^2-2)\cdot 6x^2$$

   Подставим $$x_0=-2$$:

   $$y'(-2)=2\cdot(-2)\bigl(2\cdot(-2)^3+1\bigr)+\bigl((-2)^2-2\bigr)\cdot 6\cdot(-2)^2$$

   $$y'(-2)=-4(-16+1)+(4-2)\cdot 24=60+48=108$$

3. $$y=\frac{x^3+1}{\sqrt{x}}$$

   Представим функцию как произведение:

   $$y=(x^3+1)x^{-1/2}$$

   Тогда

   $$y'(x)=3x^2\cdot x^{-1/2}+(x^3+1)\cdot\left(-\frac12\right)x^{-3/2}$$

   Упростим:

   $$y'(x)=\frac{3x^2\sqrt{x}-\frac{x^3+1}{2\sqrt{x}}}{x}$$

   Подставим $$x_0=4$$:

   $$y'(4)=\frac{3\cdot 16\cdot 2-\frac{64+1}{2\cdot 2}}{4}=\frac{384-65}{16}=\frac{319}{16}$$

4. $$y=x^3-6x^2+7$$

   $$y'(x)=3x^2-12x$$

   $$y'(2)=3\cdot 2^2-12\cdot 2=12-24=-12$$

5. $$y=(4x^2+3)(x^3-1)$$

   По правилу произведения:

   $$y'(x)=8x(x^3-1)+(4x^2+3)\cdot 3x^2$$

   Подставим $$x_0=1$$:

   $$y'(1)=8\cdot 1\cdot(1-1)+(4\cdot 1^2+3)\cdot 3\cdot 1^2=0+7\cdot 3=21$$

6. $$y=\frac{2\sqrt{x}}{0{,}5x^2-2}$$

   По правилу производной частного:

   $$y'(x)=\frac{\frac{1}{\sqrt{x}}(0{,}5x^2-2)-2\sqrt{x}\cdot x}{(0{,}5x^2-2)^2}$$

   Подставим $$x_0=1$$:

   $$y'(1)=\frac{1\cdot(0{,}5-2)-2\cdot 1\cdot 1}{(0{,}5-2)^2}=\frac{-1{,}5-2}{(-1{,}5)^2}=\frac{-3{,}5}{2{,}25}=-\frac{14}{9}$$

Ответ

а) $$0$$; б) $$108$$; в) $$\frac{319}{16}$$; г) $$-12$$; д) $$21$$; е) $$-\frac{14}{9}$$.