Дополнительная задача 10 Глава 3 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. Точка A перемещается по оси $$Ox$$, а точка B перемещается по оси $$Oy$$. Абсцисса точки A изменяется по закону $$x(t)=t^2+2t+6$$, а ордината точки B изменяется по закону $$y(t)=t^2-10t+33$$, где $$3{,}3\leq t\leq 5{,}5$$. Найдите наименьшее значение площади треугольника ABC, где $$C(0;3)$$ — фиксированная точка плоскости.

Пусть $$A(x;0)$$, $$B(0;y)$$, где

$$x(t)=t^2+2t+6,\qquad y(t)=t^2-10t+33,\qquad 3{,}3\le t\le 5{,}5.$$

Тогда

$$x(t)=(t+1)^2+5\ge 5,$$

$$y(t)=(t-5)^2+8\ge 8.$$

Площадь треугольника $$ABC$$ равна

$$S(t)=\frac12\cdot x(t)\cdot (y(t)-3).$$

Так как $$y(t)-3=t^2-10t+30,$$ получаем

$$S(t)=\frac12(t^2+2t+6)(t^2-10t+30).$$

Раскроем скобки:

$$S(t)=\frac12\left(t^4-8t^3+16t^2+180\right).$$

Найдём производную:

$$S'(t)=\frac12(4t^3-24t^2+32t)=2t(t^2-6t+8)=2t(t-2)(t-4).$$

На отрезке $$3{,}3\le t\le 5{,}5$$ критическая точка только одна: $$t=4$$.

Проверим значение функции в этой точке:

$$S(4)=\frac12\left(4^4-8\cdot 4^3+16\cdot 4^2+180\right) =\frac12(256-512+256+180)=90.$$

Следовательно, наименьшее значение площади равно $$90$$.

Ответ

$$90$$