Дополнительная задача 10 Глава 1 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

а) f(x)=2x-1 или g(x)=x+10;
б) f(x)=x^2-100 или g(x)=x+100;
в) f(x)=3x^3+2x^2+x или g(x)=4x^4;
г) f(x)=2x^5-5x^4-7 или g(x)=x^5+3x^2;
д) f(x)=5cos(5x) или g(x)=x-50;
е) f(x)=2^x или g(x)=x^20?

Подробный ответ

а) Сравним старшие члены функций: у $$f(x)=2x-1$$ и $$g(x)=x+10$$ старшие члены $$2x$$ и $$x$$. При $$x \to +\infty$$
$$\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{2x-1}{x+10}=\frac{2-\frac{1}{x}}{1+\frac{10}{x}}\to 2.$$
Значит, выше будет график $$f(x)$$.
б) Для $$f(x)=x^2-100$$ и $$g(x)=x+100$$
$$\frac{g(x)}{f(x)}=\frac{x+100}{x^2-100}=\frac{\frac{1}{x}+\frac{100}{x^2}}{1-\frac{100}{x^2}}\to 0.$$
Следовательно, при больших $$x$$ выше график $$f(x)$$.
в) У функций $$f(x)=3x^3+2x^2+x$$ и $$g(x)=4x^4$$ старшие степени: $$x^3$$ и $$x^4$$. Так как степень у $$g(x)$$ больше, то при $$x \to +\infty$$
$$\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{3x^3+2x^2+x}{4x^4}=\frac{\frac{3}{x}+\frac{2}{x^2}+\frac{1}{x^3}}{4}\to 0.$$
Значит, выше график $$g(x)$$.
г) Для $$f(x)=2x^5-5x^4-7$$ и $$g(x)=x^5+3x^2$$
$$\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{2x^5-5x^4-7}{x^5+3x^2}=\frac{2-\frac{5}{x}-\frac{7}{x^5}}{1+\frac{3}{x^3}}\to 2.$$
Следовательно, выше график $$f(x)$$.
д) Функция $$f(x)=5\cos 5x$$ ограничена, а $$g(x)=x-50$$ при $$x \to +\infty$$ неограниченно возрастает. Поэтому
$$\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{5\cos 5x}{x-50}\to 0.$$
Значит, выше график $$g(x)$$.
е) Сравним рост функций $$f(x)=2^x$$ и $$g(x)=x^{20}$$. Для экспоненты
$$\frac{f(x+1)}{f(x)}=\frac{2^{x+1}}{2^x}=2,$$
а для многочлена
$$\frac{g(x+1)}{g(x)}=\frac{(x+1)^{20}}{x^{20}}\to 1.$$
Экспоненциальная функция растёт быстрее любого многочлена, значит, выше график $$f(x)$$.