Упр.1.9 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

Является ли последовательность ограниченной сверху:
а) $$y_n=3+2(n+2);$$
г) $$y_n=12(2-n)+11;$$
б) $$x_n=2\cdot 0{,}4^{n+1};$$
д) $$x_n=5\cdot 0{,}3^n;$$
в) $$a_n=n(n-7);$$
е) $$a_n=n(10-n)?$$
Дана последовательность $$y_n=\frac{2n+1}{n-1}$$. Укажите верные утверждения и обоснуйте свой выбор:
1) последовательность ограничена сверху;
2) последовательность является убывающей;
3) последовательность ограничена снизу;
4) последовательность является возрастающей.

Подробный ответ

Рассмотрим каждую последовательность.

а) $$y_n=3+2(n+2)=3+2n+4=2n+7.$$
При увеличении $$n$$ значения $$y_n$$ неограниченно возрастают, значит, последовательность не ограничена сверху.
б) $$x_n=2\cdot 0{,}4^{\,n+1}.$$
Так как $$0<0{,}4<1,$$ то степени $$0{,}4^{\,n+1}$$ убывают и стремятся к нулю. Следовательно, последовательность ограничена сверху.
в) $$a_n=n(n-7)=n^2-7n.$$
Это квадратичная функция, которая при больших $$n$$ неограниченно возрастает, значит, последовательность не ограничена сверху.
г) $$y_n=12(2-n)+11=24-12n+11=35-12n.$$
При увеличении $$n$$ значения уменьшаются, но первый член наибольший, значит, последовательность ограничена сверху.
д) $$x_n=5\cdot 0{,}3^n.$$
Так как $$0<0{,}3<1,$$ то последовательность убывает и ограничена сверху.
е) $$a_n=n(10-n)=10n-n^2.$$
Это парабола, ветви которой направлены вниз, поэтому последовательность ограничена сверху.

Теперь рассмотрим последовательность

$$y_n=\frac{2n+1}{n-1}=\frac{2n-2+3}{n-1}=2+\frac{3}{n-1}.$$

При $$n>1$$ имеем $$\frac{3}{n-1}>0,$$ поэтому $$y_n>2.$$ Кроме того, при увеличении $$n$$ дробь $$\frac{3}{n-1}$$ убывает, значит, последовательность $$y_n$$ убывает.

Следовательно, последовательность ограничена сверху, ограничена снизу и является убывающей.