Упр.1.8 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

а) y_n=v(6-n); г) y_n=-v(n+2);
б) y_n=n/(n+1); д) y_n=(n+1)/n;
в) x_n=log_0,1(n+1); е) a_n=0,2·4^(n-1)? Является ли последовательность ограниченной снизу:
а) y_n=3/(n-1); г) y_n=-4/(n+1);
б) x_n=v(n-2); д) x_n=log_2(n+1);
в) a_n=4·2,2^n; е) a_n=n^2+4n-5?

Подробный ответ

Является ли последовательность убывающей?
а) $$y_n=\sqrt{6-n}$$ — при увеличении $$n$$ значение подкоренного выражения уменьшается, значит последовательность убывает.
б) $$y_n=\frac{n}{n+1}=1-\frac{1}{n+1}$$ — дробь $$\frac{1}{n+1}$$ убывает, поэтому $$y_n$$ возрастает. Не убывает.
в) $$x_n=\log_{0{,}1}(n+1)$$ — так как основание логарифма $$0{,}1<1$$, функция убывает, значит последовательность убывает.
г) $$y_n=-\sqrt{n+2}$$ — корень возрастает, а знак «минус» меняет направление, значит последовательность убывает.
д) $$y_n=\frac{n+1}{n}=1+\frac{1}{n}$$ — дробь $$\frac{1}{n}$$ убывает, значит вся последовательность убывает.
е) $$a_n=0{,}2\cdot 4^{\,n-1}$$ — это возрастающая геометрическая прогрессия, значит последовательность не убывает.
Является ли последовательность ограниченной снизу?
а) $$y_n=\frac{3}{n-1}$$ — при $$n\ge 2$$ все члены положительны, значит последовательность ограничена снизу, например числом $$0$$.
б) $$x_n=\sqrt{n-2}$$ — все члены неотрицательны, значит ограничена снизу числом $$0$$.
в) $$a_n=4\cdot 2{,}2^n$$ — все члены положительны, значит ограничена снизу числом $$0$$.
г) $$y_n=-\frac{4}{n+1}$$ — все члены отрицательны, но $$y_n>-4$$, значит последовательность ограничена снизу числом $$-4$$.
д) $$x_n=\log_2(n+1)$$ — при $$n\ge 1$$ имеем $$x_n\ge \log_2 2=1$$, значит ограничена снизу.
е) $$a_n=n^2+4n-5$$ — при $$n\ge 1$$ значения возрастают и минимальное значение достигается при $$n=1$$: $$a_1=0$$. Значит, последовательность ограничена снизу.