Упр.1.6 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) 4, 8, 12, 16, 20, …; г) 6, 12, 18, 24, 30, …;
б) 2, 5, 10, 17, 26, …; д) 0, 3, 8, 15, 24, …;
в) 1, -1/2, 1/3, -1/4, 1/5, …; е) -1/2, 2/3, -3/4, 4/5, -5/6, … . Является ли последовательность (y_n) убывающей:
а) y_n=v(6-n); г) y_n=-v(n+2);
б) y_n=n/(n+1); д) y_n=(n+1)/n;
в) x_n=log_0,1(n+1); е) a_n=0,2·4^(n-1)?

1. Составим одну из возможных формул $n$-го члена последовательности:

   а) $4, 8, 12, 16, 20, \ldots$

   $a_n=4n$.

   б) $2, 5, 10, 17, 26, \ldots$

   $a_n=n^2+1$.

   в) $1, -\dfrac12, \dfrac13, -\dfrac14, \dfrac15, \ldots$

   $a_n=\dfrac{(-1)^{n+1}}{n}$.

   г) $6, 12, 18, 24, 30, \ldots$

   $a_n=6n$.

   д) $0, 3, 8, 15, 24, \ldots$

   $a_n=n^2-1$.

   е) $-\dfrac12, \dfrac23, -\dfrac34, \dfrac45, -\dfrac56, \ldots$

   $a_n=\dfrac{(-1)^n n}{n+1}$.

2. Проверим, является ли последовательность $(y_n)$ убывающей:

   а) $y_n=\sqrt{6-n}$.

   При увеличении $n$ значение подкоренного выражения уменьшается, значит последовательность убывает.

   Да.

   б) $y_n=\dfrac{n}{n+1}$.

   $$y_n=\dfrac{n+1-1}{n+1}=1-\dfrac1{n+1}$$

   С ростом $n$ дробь $\dfrac1{n+1}$ уменьшается, поэтому $y_n$ возрастает.

   Нет.

   в) $y_n=\log_{0,1}(n+1)$.

   Так как основание логарифма $0{,}1<1$, функция $\log_{0,1}x$ убывает, значит и последовательность убывает.

   Да.

   г) $y_n=-\sqrt{n+2}$.

   При увеличении $n$ значение $\sqrt{n+2}$ возрастает, а с минусом последовательность убывает.

   Да.

   д) $y_n=\dfrac{n+1}{n}$.

   $$y_n=1+\dfrac1n$$

   Так как $\dfrac1n$ убывает, то и $y_n$ убывает.

   Да.

   е) $y_n=0{,}2\cdot 4^{\,n-1}$.

   Это геометрическая прогрессия со знаменателем $4>1$, значит последовательность возрастает.

   Нет.

Ответ

1) а) $a_n=4n$; б) $a_n=n^2+1$; в) $a_n=\dfrac{(-1)^{n+1}}{n}$; г) $a_n=6n$; д) $a_n=n^2-1$; е) $a_n=\dfrac{(-1)^n n}{n+1}$.
2) а) да; б) нет; в) да; г) да; д) да; е) нет.