Упр.1.5 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) y_1 = 1, y_(n+1) = 2y_n + 3;
б) y_1 = 1, y_2 = 1, y_(n+2) = y_n + y_(n+1) (последовательность Фибоначчи);
в) y_1 = -2, y_(n+1) = ny_n;
г) y_1 = 2, y_2 = -8, y_(n+2) = (y_n + y_(n+1)) / 2. Является ли последовательность возрастающей:
а) y_n=8-4(6-n); г) y_n=4-3(n-2);
б) y_n=-n/(n+3); д) y_n=(n-3)/n;
в) a_n=8·0,8^(n+1); е) x_n=lg(n+2)?

1. Первые шесть членов последовательности.

   а) $$y_1=1,\quad y_{n+1}=2y_n+3$$

   $$y_2=2\cdot 1+3=5$$
   $$y_3=2\cdot 5+3=13$$
   $$y_4=2\cdot 13+3=29$$
   $$y_5=2\cdot 29+3=61$$
   $$y_6=2\cdot 61+3=125$$

   Ответ: $$1,\ 5,\ 13,\ 29,\ 61,\ 125$$.

   б) $$y_1=y_2=1,\quad y_{n+2}=y_n+y_{n+1}$$

   $$y_3=y_1+y_2=1+1=2$$
   $$y_4=y_2+y_3=1+2=3$$
   $$y_5=y_3+y_4=2+3=5$$
   $$y_6=y_4+y_5=3+5=8$$

   Ответ: $$1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 5,\ 8$$.

   в) $$y_1=-2,\quad y_{n+1}=ny_n$$

   $$y_2=1\cdot(-2)=-2$$
   $$y_3=2\cdot(-2)=-4$$
   $$y_4=3\cdot(-4)=-12$$
   $$y_5=4\cdot(-12)=-48$$
   $$y_6=5\cdot(-48)=-240$$

   Ответ: $$-2,\ -2,\ -4,\ -12,\ -48,\ -240$$.

   г) $$y_1=2,\quad y_2=-8,\quad y_{n+2}=\frac{y_n+y_{n+1}}{2}$$

   $$y_3=\frac{y_1+y_2}{2}=\frac{2+(-8)}{2}=-3$$
   $$y_4=\frac{y_2+y_3}{2}=\frac{-8+(-3)}{2}=-\frac{11}{2}$$
   $$y_5=\frac{y_3+y_4}{2}=\frac{-3-\frac{11}{2}}{2}=-\frac{17}{4}$$
   $$y_6=\frac{y_4+y_5}{2}=\frac{-\frac{11}{2}-\frac{17}{4}}{2}=-\frac{39}{8}$$

   Ответ: $$2,\ -8,\ -3,\ -\frac{11}{2},\ -\frac{17}{4},\ -\frac{39}{8}$$.

2. Является ли последовательность возрастающей?

   а) $$y_n=8-4(6-n)=4n-16$$

   Это линейная функция с положительным коэффициентом при $$n$$, значит последовательность возрастающая.

   Ответ: да.

   б) $$y_n=-\frac{n}{n+3}=-\frac{n+3-3}{n+3}=\frac{3}{n+3}-1$$

   Так как $$\frac{3}{n+3}$$ убывает при росте $$n$$, то $$y_n$$ убывает.

   Ответ: нет.

   в) $$a_n=8\cdot 0{,}8^{\,n+1}$$

   Так как $$0<0{,}8<1$$, степени числа $$0{,}8$$ убывают, значит и последовательность убывает.

   Ответ: нет.

   г) $$y_n=4-3(n-2)=10-3n$$

   Коэффициент при $$n$$ отрицательный, значит последовательность убывает.

   Ответ: нет.

   д) $$y_n=\frac{n-3}{n}=1-\frac{3}{n}$$

   При росте $$n$$ дробь $$\frac{3}{n}$$ убывает, поэтому $$y_n$$ возрастает.

   Ответ: да.

   е) $$x_n=\lg(n+2)$$

   Аргумент логарифма $$n+2$$ возрастает, а функция $$\lg x$$ возрастает при $$x>0$$, значит последовательность возрастает.

   Ответ: да.

Ответ

Первые шесть членов:
а) $$1,\ 5,\ 13,\ 29,\ 61,\ 125$$;
б) $$1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 5,\ 8$$;
в) $$-2,\ -2,\ -4,\ -12,\ -48,\ -240$$;
г) $$2,\ -8,\ -3,\ -\frac{11}{2},\ -\frac{17}{4},\ -\frac{39}{8}$$.

Возрастающая последовательность:
а) да; б) нет; в) нет; г) нет; д) да; е) да.