Дополнительная задача 1 Глава 3 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) Найдите f(1);
б) найдите f'(1);
в) составьте уравнение касательной при x=1;
г) найдите точку пересечения касательной с осью ординат;
д) найдите точку пересечения касательной с осью абсцисс;
е) найдите подкасательную.

Дана функция $$f(x)=\sqrt{x}.$$

а) Найдём значение функции при $$x=1$$:

$$f(1)=\sqrt{1}=1.$$

б) Найдём производную:

$$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}},$$

тогда

$$f'(1)=\frac{1}{2\sqrt{1}}=\frac12.$$

в) Уравнение касательной к графику функции в точке $$x=1$$:

$$y=f(1)+f'(1)(x-1)=1+\frac12(x-1)=\frac{x+1}{2}.$$

г) Найдём точку пересечения касательной с осью ординат, положив $$x=0$$:

$$y=\frac{0+1}{2}=\frac12.$$

Точка пересечения: $$\left(0;\frac12\right).$$

д) Найдём точку пересечения касательной с осью абсцисс, положив $$y=0$$:

$$\frac{x+1}{2}=0,$$

$$x=-1.$$

Точка пересечения: $$(-1;0).$$

е) Подкасательная — это отрезок на оси $$Ox$$ от точки касания до точки пересечения касательной с осью абсцисс. Его длина равна

$$l=1-(-1)=2.$$

Ответ

а) $$1$$; б) $$\frac12$$; в) $$y=\frac{x+1}{2}$$; г) $$\left(0;\frac12\right)$$; д) $$(-1;0)$$; е) $$2$$.