Дополнительная задача 1 Глава 1 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) y_n=0; г) y_n>y_(n+1);
б) y_n>0; д) y_3

1. $$y_n=0$$

   $$-2n^2+19n-42=0$$
   $$2n^2-19n+42=0$$
   $$D=19^2-4\cdot 2\cdot 42=361-336=25$$
   $$n_{1,2}=\frac{19\pm 5}{4}$$
   $$n_1=\frac{14}{4}=3{,}5,\quad n_2=\frac{24}{4}=6$$

   Так как $$n\in \mathbb{N}$$, подходит только $$n=6$$.

2. $$y_n>0$$

   $$-2n^2+19n-42>0$$
   $$2n^2-19n+42<0$$
   $$2n^2-19n+42=(n-3{,}5)(n-6)$$

   Тогда
   $$3{,}5<n<6$$

   Следовательно, $$n=4,5$$.

3. $$y_n<y_{n+1}$$

   $$-2n^2+19n-42<-2(n+1)^2+19(n+1)-42$$
   $$-2n^2+19n<-2n^2-4n-2+19n+19$$
   $$4n+2-19<0$$
   $$4n<17$$
   $$n<4{,}25$$

   Значит, $$n=1,2,3,4$$.

4. $$y_n>y_{n+1}$$

   $$-2n^2+19n-42>-2(n+1)^2+19(n+1)-42$$
   $$-2n^2+19n>-2n^2-4n-2+19n+19$$
   $$4n+2-19>0$$
   $$4n>17$$
   $$n>4{,}25$$

   Следовательно, $$n=5,6,7,\dots$$

5. $$y_3<y_n$$

   $$y_3=-2\cdot 3^2+19\cdot 3-42=-18+57-42=-3$$

   $$-3<-2n^2+19n-42$$
   $$2n^2-19n+39<0$$
   $$D=19^2-4\cdot 2\cdot 39=361-312=49$$
   $$n_{1,2}=\frac{19\pm 7}{4}$$
   $$n_1=3,\quad n_2=6{,}5$$

   Тогда
   $$3<n<6{,}5$$

   Значит, $$n=4,5,6$$.

6. Так как $$y_n=-2n^2+19n-42$$ — парабола, ветви которой направлены вниз, наибольшее значение достигается в вершине:

   $$n_0=-\frac{19}{2\cdot(-2)}=\frac{19}{4}=4{,}75$$

   Для натурального $$n$$ проверяем ближайшие значения:

   $$y_4=-2\cdot 4^2+19\cdot 4-42=2$$
   $$y_5=-2\cdot 5^2+19\cdot 5-42=3$$

   Наибольшее значение принимает при $$n=5$$.

Ответ

а) $$6$$; б) $$4,5$$; в) $$1,2,3,4$$; г) $$5,6,7,\dots$$; д) $$4,5,6$$; е) $$5$$.