Упр.1.26 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) sin(2x) — v2cos(? — x) = 0, [-2?; -?/2];
б) cos(2x) + sin(3?/2 + x) = 0, [-5?/2; -?].

а) $$\sin 2x-\sqrt2\cos(\pi-x)=0.$$

Используем формулу $$\cos(\pi-x)=-\cos x$$ и преобразуем уравнение:

$$\sin 2x+\sqrt2\cos x=0.$$

Так как $$\sin 2x=2\sin x\cos x,$$ получаем:

$$2\sin x\cos x+\sqrt2\cos x=0,$$

$$\cos x\,(2\sin x+\sqrt2)=0.$$

Отсюда:

$$\cos x=0 \quad \text{или} \quad 2\sin x+\sqrt2=0.$$

1) $$\cos x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+\pi n.$$

На промежутке $$[-2\pi;\,-\frac{\pi}{2}]$$ получаем:

$$x=-\frac{3\pi}{2},\ -\frac{\pi}{2}.$$

2) $$2\sin x+\sqrt2=0 \Rightarrow \sin x=-\frac{\sqrt2}{2}.$$

Тогда

$$x=-\frac{\pi}{4}+2\pi n \quad \text{или} \quad x=-\frac{3\pi}{4}+2\pi n.$$

На промежутке $$[-2\pi;\,-\frac{\pi}{2}]$$ получаем:

$$x=-\frac{5\pi}{4},\ -\frac{3\pi}{4}.$$

Итак, для пункта а):

$$x=-\frac{3\pi}{2},\ -\frac{5\pi}{4},\ -\frac{3\pi}{4},\ -\frac{\pi}{2}.$$

б) $$\cos 2x+\sin\left(\frac{3\pi}{2}+x\right)=0.$$

Используем формулы:

$$\cos 2x=2\cos^2 x-1,$$

$$\sin\left(\frac{3\pi}{2}+x\right)=-\cos x.$$

Тогда уравнение принимает вид:

$$2\cos^2 x-1-\cos x=0.$$

Обозначим $$y=\cos x$$. Получаем квадратное уравнение:

$$2y^2-y-1=0.$$

$$D=(-1)^2-4\cdot 2\cdot(-1)=9,$$

$$y_{1,2}=\frac{1\pm 3}{4}.$$

Следовательно,

$$\cos x=1 \quad \text{или} \quad \cos x=-\frac12.$$

1) $$\cos x=1 \Rightarrow x=2\pi n.$$

На промежутке $$\left[-\frac{5\pi}{2};\,-\pi\right]$$ подходит:

$$x=-2\pi.$$

2) $$\cos x=-\frac12 \Rightarrow x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n.$$

На промежутке $$\left[-\frac{5\pi}{2};\,-\pi\right]$$ подходят:

$$x=-\frac{4\pi}{3},\ -\frac{2\pi}{3}.$$

Итак, для пункта б):

$$x=-2\pi,\ -\frac{4\pi}{3},\ -\frac{2\pi}{3}.$$

Ответ

а) $$-\frac{3\pi}{2},\ -\frac{5\pi}{4},\ -\frac{3\pi}{4},\ -\frac{\pi}{2}.$$

б) $$-2\pi,\ -\frac{4\pi}{3},\ -\frac{2\pi}{3}.$$