Упр.1.25 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. Решите уравнение: а) $$\sin(x)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$; г) $$\sin(2{,}5x)=-1$$; б) $$2\cos(x)=\sqrt{2}$$; д) $$3\operatorname{ctg}\left(x-\frac{\pi}{6}\right)=-\sqrt{3}$$; в) $$\cos(4x)=1$$; е) $$\operatorname{tg}\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=-1$$.

1. $$\sin x=-\frac{\sqrt3}{2}$$

   Тогда

   $$x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2. $$2\cos x=\sqrt2$$

   $$\cos x=\frac{\sqrt2}{2}$$

   Следовательно,

   $$x=\pm\frac{\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

3. $$\cos 4x=1$$

   $$4x=2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

   откуда

   $$x=\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$

4. $$\sin 2{,}5x=-1$$

   $$2{,}5x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

   Тогда

   $$x=-\frac{\pi}{5}+\frac{4\pi n}{5},\quad n\in\mathbb Z.$$

5. $$3\ctg\left(x-\frac{\pi}{6}\right)=-\sqrt3$$

   $$\ctg\left(x-\frac{\pi}{6}\right)=-\frac{\sqrt3}{3}=-\frac{1}{\sqrt3}$$

   Значит,

   $$x-\frac{\pi}{6}=-\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

   и поэтому

   $$x=-\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

6. $$\tg\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=-1$$

   $$x+\frac{\pi}{4}=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

   откуда

   $$x=-\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{3}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$; б) $$x=\pm\frac{\pi}{4}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$; в) $$x=\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z$$; г) $$x=-\frac{\pi}{5}+\frac{4\pi n}{5},\ n\in\mathbb Z$$; д) $$x=-\frac{\pi}{6}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$; е) $$x=-\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$.