Упр.1.23 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
- Найдите наименьшее натуральное значение $$n$$, начиная с которого все члены указанной последовательности лежат в интервале $$(-0{,}01; 0{,}01)$$, и выскажите предположение о том, чему равен предел последовательности:
а) $$b_n=\frac{2}{\sqrt{n}+2}$$;
в) $$b_n=\frac{3}{\sqrt{n}+3}$$;
б) $$b_n=\frac{(-1)^n\cdot 2}{\sqrt{n}}$$;
г) $$b_n=\frac{(-1)^{n+1}\cdot 3}{\sqrt{n}}$$.
а) $$b_n=\frac{2}{\sqrt{n}+2}$$
Требуется, чтобы для всех последующих членов выполнялось $$\left|b_n\right|<0{,}01$$. Так как $$b_n>0$$, получаем
$$\frac{2}{\sqrt{n}+2}<0{,}01$$
$$2<0{,}01(\sqrt{n}+2)$$
$$2<0{,}01\sqrt{n}+0{,}02$$
$$1{,}98<0{,}01\sqrt{n}$$
$$198<\sqrt{n}$$
$$n>198^2$$
Наименьшее натуральное $$n$$: $$198^2+1=39205$$.
Предел последовательности: $$\lim\limits_{n\to\infty} b_n=0$$.
б) $$b_n=(-1)^n\frac{2}{\sqrt{n}}$$
Нужно, чтобы
$$\left|(-1)^n\frac{2}{\sqrt{n}}\right|<0{,}01$$
$$\frac{2}{\sqrt{n}}<0{,}01$$
$$2<0{,}01\sqrt{n}$$
$$200<\sqrt{n}$$
$$n>200^2$$
Наименьшее натуральное $$n$$: $$200^2+1=40001$$.
Предел последовательности: $$\lim\limits_{n\to\infty} b_n=0$$.
в) $$b_n=\frac{3}{\sqrt{n}+3}$$
Имеем
$$\frac{3}{\sqrt{n}+3}<0{,}01$$
$$3<0{,}01(\sqrt{n}+3)$$
$$3<0{,}01\sqrt{n}+0{,}03$$
$$2{,}97<0{,}01\sqrt{n}$$
$$297<\sqrt{n}$$
$$n>297^2$$
Наименьшее натуральное $$n$$: $$297^2+1=88210$$.
Предел последовательности: $$\lim\limits_{n\to\infty} b_n=0$$.
г) $$b_n=(-1)^{n+1}\frac{3}{\sqrt{n}}$$
Тогда
$$\left|(-1)^{n+1}\frac{3}{\sqrt{n}}\right|<0{,}01$$
$$\frac{3}{\sqrt{n}}<0{,}01$$
$$3<0{,}01\sqrt{n}$$
$$300<\sqrt{n}$$
$$n>300^2$$
Наименьшее натуральное $$n$$: $$300^2+1=90001$$.
Предел последовательности: $$\lim\limits_{n\to\infty} b_n=0$$.
Ответ
а) $$n=39205$$, $$\lim\limits_{n\to\infty} b_n=0$$; б) $$n=40001$$, $$\lim\limits_{n\to\infty} b_n=0$$; в) $$n=88210$$, $$\lim\limits_{n\to\infty} b_n=0$$; г) $$n=90001$$, $$\lim\limits_{n\to\infty} b_n=0$$.
