Упр.1.22 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
- Найдите наименьшее натуральное значение $$n$$, начиная с которого все члены указанной последовательности лежат в интервале $$(-0{,}01; 0{,}01)$$, и выскажите предположение о том, чему равен предел последовательности: а) $$a_n=(-1)^n\frac{1}{n^2+2}$$; г) $$a_n=(-1)^{n+1}\frac{2}{(n+2)^2+2}$$; б) $$a_n=\frac{5}{2^{n+1}}$$; д) $$a_n=\frac{2}{5^n}$$; в) $$a_n=(-1)^n\frac{4}{3^n}$$; е) $$a_n=(-1)^{n+1}\frac{6}{10^n}$$.
а) $$a_n = (-1)^n \frac{1}{n^2+2}$$
Чтобы все члены последовательности лежали в интервале $$(-0{,}01; 0{,}01),$$ достаточно потребовать
$$\frac{1}{n^2+2} < 0{,}01.$$
Тогда
$$1 < 0{,}01(n^2+2),$$
$$0{,}01n^2 > 0{,}98,$$
$$n^2 > 98.$$
Подходит наименьшее натуральное $$n=10.$$
Так как $$\frac{1}{n^2+2}\to 0,$$ то $$a_n \to 0.$$
б) $$a_n = \frac{5}{2^{n+1}}$$
Требуем:
$$\frac{5}{2^{n+1}} < 0{,}01.$$
Получаем
$$5 < 0{,}01 \cdot 2^{n+1},$$
$$500 < 2^{n+1},$$
$$2^n > 250.$$
Наименьшее натуральное $$n=8.$$
Предел последовательности: $$a_n \to 0.$$
в) $$a_n = (-1)^n \frac{4}{3^n}$$
Достаточно, чтобы
$$\frac{4}{3^n} < 0{,}01.$$
Тогда
$$4 < 0{,}01 \cdot 3^n,$$
$$3^n > 400.$$
Подходит $$n=6.$$
Следовательно, $$a_n \to 0.$$
г) $$a_n = (-1)^{n+1}\frac{2}{(n+2)^2+2}$$
Нужно, чтобы
$$\frac{2}{(n+2)^2+2} < 0{,}01.$$
Получаем
$$2 < 0{,}01\bigl((n+2)^2+2\bigr),$$
$$198 < (n+2)^2,$$
$$n+2 > 3\sqrt{22}.$$
Отсюда наименьшее натуральное $$n=13.$$
Предел последовательности: $$a_n \to 0.$$
д) $$a_n = \frac{2}{5^n}$$
Требуем:
$$\frac{2}{5^n} < 0{,}01.$$
Тогда
$$2 < 0{,}01\cdot 5^n,$$
$$5^n > 200.$$
Подходит $$n=4.$$
Следовательно, $$a_n \to 0.$$
е) $$a_n = (-1)^{n+1}\frac{6}{10^n}$$
Достаточно, чтобы
$$\frac{6}{10^n} < 0{,}01.$$
Получаем
$$6 < 0{,}01\cdot 10^n,$$
$$10^n > 600.$$
Наименьшее натуральное $$n=3.$$
Предел последовательности: $$a_n \to 0.$$
Ответ
а) $$n=10,$$ $$\lim\limits_{n\to\infty} a_n=0$$; б) $$n=8,$$ $$\lim\limits_{n\to\infty} a_n=0$$; в) $$n=6,$$ $$\lim\limits_{n\to\infty} a_n=0$$; г) $$n=13,$$ $$\lim\limits_{n\to\infty} a_n=0$$; д) $$n=4,$$ $$\lim\limits_{n\to\infty} a_n=0$$; е) $$n=3,$$ $$\lim\limits_{n\to\infty} a_n=0$$.
